Теория ядерных реакторов - Белл Д.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 9.5. Схематичное представление обратных связей
в реакторе.
Для сложных систем такого рода передаточные функции нельзя определить в аналитической форме, но их нетрудно получить, моделируя реактор с механизмом обратных связей на аналоговых машинах [35].
Возвращаясь к рассматриваемому случаю простых обратных связей, следует отметить, что поведение системы при введении внешней реактивности 6рВІіешн(0 можно найти, делая обратное преобразование уравнения (9.59). Если h (/) является оригиналом H(s), то
6Р (t) = j брвнешн (т) h(t — х) dx,
(9.60)
так что h (t) представляет собой функцию Грина, характеризующую поведение системы при введении единичного импульса реактивности при t = 0; h (t) называют нормальной реакцией на единичный импульс.
392
9.4.3. УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ
Устойчивость системы с обратными связями можно исследовать, изучая полюса функции H (s). Эти полюса являются решениями характеристического уравнения
I — P0R (s)F(s) = 0, (9.61)
в которое входит мощность. Это уравнение получено из условия, что знаменатель выражения (9.59) равен нулю. Полюса R (s) в числителе определяют поведение реактора нулевой мощности (см. разд. 9.2.5, 9.3.1), но здесь их нельзя использовать для анализа при мощности конечной величины, так как функция R (s) появляется также и в знаменателе.
Предположим, что уравнение (9.61) имеет простой корень и, как следствие, функция H (s) имеет полюс при s = ?f. Тогда при обратном преобразовании бР (s) в бР (t) появится член, пропорциональный ехр (eft). Если действительная часть cf положительна, т. е. cf является корнем в правой полуплоскости на графике с осями Im (s) и Re (s), как показано одним из обведенных кружком крестиков на рис. 9.6, то функция бР (/) будет экспоненциально расти со временем, указывая тем самым на неустойчивое поведение при возмущении реактивности. Необходимо отметить, что экспоненциальный рост функции бР (/) следует лишь из линеаризованных уравнений кинетики, т. е. при малых возмущениях реактивности и мощности. Для оценки поведения при больших колебаниях мощности нужно использовать нелинейные уравнения кинетики или более общий подход.
. Если, с другой стороны, действительная часть отрицательна, т. е. она лежит в левой полуплоскости на рис. 9.6, как показано крестиками без кружков, корень будет давать уменьшающийся со временем вклад в величину бP (/). То, что справедливо для одного полюса, справедливо для остальных. Отсюда следует утверждение, что если все корни лежат в левой полуплоскости, то система будет устойчива к малым возмущениям реактивности. Следовательно, с точки зрения безопасности реактора важно определить, есть ли в правой полуплоскости хотя бы один из полюсов H (s), т. е. корней уравнения (9.61).
Другой способ вывода условий устойчивости состоит в следующем. Если система устойчива к малому возрастанию реактивности брвнешн, то следует ожидать, что спустя некоторое время после изменения реактивности функция бP (/) приближается к некоторой постоянной положительной величине, соответствующей бр (/) = 0. Из уравнения (9.57) следует, что после некоторого большого промежутка времени для устойчивой системы должно выполняться соотношение
OO
0 = брвнешн + бР S / (*) dt = бРвнеши + F (O) бР. о
F(O) является значением функции F (s) при s = 0, т. е. в стационарном состоянии реактора. Поэтому она и называется стационарным мощностным коэффициентом. Необходимым, но не достаточным условием устойчивости является соотношение
OO
F (O) = ^f (t)dt<0. (9.62)
о
Таким образом, стационарный мощностной коэффициент реактора должен быть для устойчивости отрицательным. Это заключение также было распространено и на линейные задачи с обратными связями [36].
Рис. 9.6. К исследованию условий устойчивости.
393
9.4.4. ОГРАНИЧЕНИЯ МОЩНОСТИ ДЛЯ УСТОЙЧИВОСТИ
Другой общей, представляющей интерес чертой является способность линейной модели с обратными связями указать ту предельную мощность, за которой наступает неустойчивость. Предположим, что где-то в правой полуплоскости действительная часть R (s)F (s) положительна, в то время как мнимая часть равна нулю. Тогда существует такая мощность, при которой произведение P0 и Re [i?(s)F(s)] равноединице. Такое s ;> О при данном P0 является корнем характеристического уравнения (9.61) и, следовательно, будет ¦соответствовать неустойчивости системы. Очевидно, что реактор сохранит устойчивость при более низких мощностях, если рассматривать только этот корень, но станет неустойчивым при некотором критическом уровне мощности, когда обратные связи окажутся достаточно сильными, чтобы вызвать эту неустойчивость.
В действительности ситуация не так проста, так как функция /(/)сама зависит в некоторой степени от мощности P0. Тем не менее в принципе утверждение, что неустойчивость появляется начиная с некоторой мощности, справедливо.
Для низкой мощности при условии R(s) Ф 0 характеристическое уравнение (9.61) можно разделить на R (s). Результат с помощью уравнения (9.43) записывается в виде
