Решение задач по физике. Общие методы - Беликов Б.С.
Скачать (прямая ссылка):
Решение. В физическую систему включим три тела: поршень (твердое тело массой М), идеальный газ под поршнем внутри трубки и воздух над поршнем (идеальный газ). Как будут вести себя тела системы после того, как поршень сместится вниз на расстояние х от положения равновесия (рис. 37.1)? Состояние газа над поршнем не изменится (его давление р0 и температура Г0 останутся постоянными). Состояние газа под поршнем изменится (температура T0 останется постоянной, объем уменьшится на AV=xS, а давление возрастет на Ар). Следовательно, і на поршень будет действовать дополнительная сила F=ApS, направленная вверх.
Под действием этой силы поршень пойдет вверх. В положении равновесия дополнительная сила F обратится в нуль. Но так как скорость поршня в этом положении отлична от нуля, то он, пройдя положение равновесия, сместится вверх на расстояние х (трения нет). Давление газа под поршнем уменьшится на Ар. Под действием силы ApS, теперь уже направленной вниз, поршень начнет двигаться также вниз. Таким образом, поршень будет совершать колебания около положения равновесия.
Используем динамический метод. Найдем сначала дополнительную силу F=ApS, действующую на поршень. По закону Бойля — Мариотта для изотермического процесса в газе под поршнем получаем
У////////}
37.1
PiIoS = (Pi+Ap) (Sl0-Sx),
(37.3)
где pi=(Mg-\-PoS)/S — давление газа под поршнем в состоянии равновесия. Считая, что *</0, из (37.3) находим изменение давления газа:
Ар=р їх/10.
247
Следовательно, дополнительная сила
пропорциональна смещению х поршня от положения равновесия и направлена к положению равновесия.
Под действием этой силы поршень совершает гармонические колебания. По второму закону Ньютона находим дифференциальное уравнение этих колебаний:
Сравнивая это уравнение с общим дифференциальным уравнением свободных незатухающих колебаний, находим период колебаний поршня:
» V Mg-^p0S'
Отсюда T0=2nVUg в предельном случае р0=0. Это период
колебаний математического маятника.
Пример 37.4 Пуля, пробив доску толщиной п, изменила свою скорость от V0 до V1. Найти время движения пули в доске, считая силу сопротивления пропорциональной квадрату скорости.
Решение. Материальная точка (пуля) движется под] действием известной силы. Известны начальные условия (V0 = (U0, 0, 0}, г0={0, 0, 0} при ?=0). Необходимо определить один из параметров движения (время t). Это основная задача динамики материальной точки.
Используем динамический метод. По второму закону Ньютона,
m^L = -av\ (37.4)
где т — масса пули, а — коэффициент пропорционально-! сти. Заметим, что эти параметры (т и а) неизвестны. Ин-| тегрируя уравнение (37.4) и учитывая начальное условие, находим закон изменения скорости:
V =
1 -\-av0t/m '
Полагая в этом уравнении V=Vi, получаем искомое вре
мя:
т {X-V1Iv0) (37>5-
1 avt v
243
Для определения неизвестного отношения т/а найдем закон движения пули, решая обратную задачу кинематики:
или
*=т,п(1+5?')- <37'6>
Выразив отношение т/а из уравнения (37.5)
т_ у it j
и подставив его в формулу (37.6), окончательно находим искомое время:
/ _ ft (Рр —Pi)
1 V0Vi іп (Po/Pl)
Пример 37.5 Две квадратные пластины со стороной а=300 мм, закрепленные на расстоянии d=2,00 мм друг от друга, образуют плоский конденсатор, подключенный к источнику постоянного напряжения Аф=250 В. Расположенные вертикально пластины погружают в сосуд с керосином со скоростью v=5,00 мм/с. Найти силу тока I, текущего при этом по подводящим проводам.-Решение. Физическая система состоит из плоского конденсатора, подсоединенного к источнику постоянного напряжения. До погружения в керосин на одной из обкладок конденсатора сосредоточен заряд
Q=CAq)5
где C=s0a2/d — емкость конденсатора.
При погружении пластин в керосин в подводящих проводах течет электрический ток. Почему? Керосин — диэлектрик (диэлектрическая постоянная е=2). Когда он появляется в конденсаторе, электрическое поле в последнем изменяется. Это приводит к перераспределению зарядов на обкладках конденсатора, в подводящих проводах возникает ток. Увеличение заряда на пластинах при неизменном напряжении (A(p=const) обусловлено возрастанием емкости С конденсатора.
Найдем емкость конденсатора в произвольный момент времени t. К этому моменту времени пластины погрузятся в керосин на глубину h=v1. Конденсатор в этот момент мож-
249
но представить как батарею из двух плоских конденсаторов, соединенных параллельно: один — с диэлектриком между обкладками, другой — без диэлектрика. Емкость этой системы
п_ъпШа , e0(a—vt)a _ е0а Г/_ 1Wl/ . „і
Заряд Q на обкладке изменяется от времени t по закону
Отсюда определяем искомый ток: '-dt- d (Є l)V-
Подстановка числовых значений дает /=1,7-10-9 А. Пример 37.6 На горизонтальной плоскости лежит катушка ниток. С каким ускорением а движется ось катушки, если за нитку тянуть с силой F (рис. 37.2)? Каким образом надо тянуть за нитку для того, чтобы катушка двигалась в сторону натянутой нитки? Катушка движется по поверхности стола без скольжения. Найти силу трения между катушкой и столом. Решение. Физическая система состоит из одного тела — катушки, которую можно принять за твердое тело. Известны силы (их можно определить), действующие на катушку. Необходимо найти ускорение тела. Это основная задача динамики твердого тела.
