Решение задач по физике. Общие методы - Беликов Б.С.
Скачать (прямая ссылка):
При расчете интерференционной картины чаще всего необходимо определить положение произвольного k-ГО максимума (или минимума) и расстояние между двумя соседними максимумами (или минимумами). Метод решения большинства задач на интерференцию света сводится к двум основным этапам: нахождения оптической разности хода б и применения условия максимума
o=kkQ (27.1)
или минимума
б-=(2А;+1)^. (27.2)
Пример 27.1 Рассчитать интерференционную картину от двух когерентных источников IuII (рис. 27.1), расположенных на расстоянии d=5 мм друг от друга и
179
на расстоянии L=6 м от экрана. Длина волны источников в вакууме Я0=5- Ю-7 м. Определить также положение на экране пятого максимума и расстояние между соседними максимумами. Среда — вакуум.
27'.і
Решение. До встречи в произвольной точке F экрана (рис. 27.1), в которой оценивается результат интерференции, каждая из волн проходит соответствующий геометрический путь Xi и х%. Предполагая для простоты начальные фазы равными нулю, а амплитуды — одинаковыми, запишем уравнения волн данных источников:
E1 = E01 sin (^2nvt—^y^j , E2 = E01Sm [2nvt—.
По принципу суперпозиции результирующее колебание в точке F
E = E1ArE2 = 2E01 cos (Jt1—Ar2)J sinj^ 2л vt—y(xi—хі) ]
является гармоническим с той же частотой v, но с амплитудой
E0 = 2E01C0S [^iX1-Xj] , (27.3)
зависящей от параметра (л/Х0) (X1—лг2) = (л/Х0)б. Возводя (27.3) в квадрат, получаем распределение интенсивности света на экране:
/ = 4Incos2 = 2I01 [і + cos (^) ] . (27.4)
Свяжем разность хода б с координатой х точки F на экране. Из подобия треугольников АБС и DFO (учтя, что
180
6«l?CI, a \FO\=x) находим
old^xIL. (27.5)
Отсюда
6 = (d/L)x. (27.6)
Таким образом, распределение интенсивности
/-2/„[1 + COe(^x)]. (27.7)
График функции (27.7) представлен на рис. 27.2. Учитывая условия максимума (27.1) и (27.5), определяем положение k-то максимума:
xk=Wd=kLKjd, xk=3-\0-3 м, (27.8)
а также расстояние между соседними максимумами: IbX = X^+U-Xb = LkJd, кх = 6•10"4M. (27.9)
Два реальных источника света не являются когерентными. Поэтому рассмотренная задача о расчете интерференционной картины двух когерентных источников является
27.2
идеальной. Однако ее результаты и метод решения часто используют при расчете реальных интерференционных устройств. В большинстве случаев в таких приборах луч разделяется на две когерентные части. После прохождения различных оптических путей эти части исходного луча интерферируют.
Пример 27.2 Точечный источник света S с длиной волны k0=S-10~7 м расположен на расстоянии г= 10 см от линии пересечения двух плоских зеркал, угол между которыми а=20' (бизеркала Френеля). Определить число светлых полос интерференционной картины, получающейся на экране, удаленном от линии пересечения зеркал на расстояние /=190 см (рис. 27.3).
181
Решение. Интерференционная картина получается от двух когерентных источников / и //, расположенных в точках А и В и являющихся мнимыми изображениями источника света S в двух плоских зеркалах. Эта идеальная
E
27.3
задача была решена в примере 27.1. Таким образом, для расчета интерференционной картины необходимо определить расстояние \AB\=d между источниками. Расстояние источников до экрана L«/+r. В ДЛОС угол АОС=а. Следовательно, d=2\AC\=2\AO\ sin а=2га, ибо sin ааа, так как угол а мал. Используя формулу (27.9), находим расстояние между двумя соседними светлыми полосами:
ах~ d ~ 2га '
Число светлых полос можно определить, если будет найдена ширина интерференционной картины. Последняя же определяется областью, где происходит перекрытие волн, излучаемых источниками / и //. Из рис. 27.3 видно, что ширина интерференционной картины изображается отрезком |D?|=A:=2|01D|=2/tg а«2/а. Разделив ширину х интерференционной картины на ширину светлой полосы Ах, получим число N светлых полос:
л7 = #- = г^т^. tf«26.
Пример 27.3 Какой должна быть допустимая ширина щелей de в опыте Юнга, чтобы на экране Э, расположенном на расстоянии L=2 м от щелей (рис. 27.4), получилась отчетливая интерференционная картина? Рас-
162
стояние между щелями d=5 мм. Длина волны X0=Sx XlO-' м.
Решение. В опыте Юнга две щели (точки А и В на рис. 27.4) являются когерентными источниками, дающими на экране интерференционную картину. Предположим,
О
„3>
"27.4
27.5
что эти источники точечные. Тогда интерференционная картина рассчитывается по формуле (27.8) и (27.9). Сместим источники вверх и на расстояние d0. Интерференционная картина сместится также вверх на расстояние d0. Рассмотрим суммарную интерференционную картину от четырех точечных источников, расположенных в точках А и А', В и В'. Она будет состоять из двух интерференционных картин, сдвинутых одна относительно другой на расстояние d0. Если это расстояние меньше расстояния между соседними светлой и темной полосами, которое по формуле (27.9) равно X0L/(2d), то суммарная интерференционная картина получится отчетливой.
Пусть теперь имеется два неточечных когерентных источника (щели шириной AA'=BB'=d0). Согласно сказанному, суммарная интерференционная картина отчетлива, если выполняется условие
