Решение задач по физике. Общие методы - Беликов Б.С.
Скачать (прямая ссылка):
17.1
Пример 17.3 На северном полюсе Земли вертикально вверх запускают ракету с начальной скоростью V0, удовлетворяющей условиям и2>Уо>-^оі- Определить максимальную высоту подъема ракеты, а также ее скорость в произвольной точке траектории. Сопротивлением воздуха пренебречь. Влияние Луны, Солнца и других тел на движение ракеты не учитывать.
Решение этой задачи уже получено (см. формулы (17.4) и (17.5)).
Заметим, что в рассмотренных задачах необходимо более детально оценить верхний предел начальной скорости: при скоростях, близких к v2, высота подъема ракеты становится настолько большой, что влиянием Луны, Солнца и других тел на движение ракеты уже пренебрегать нельзя. Полезно предложить сделать соответствующие оценки наиболее успевающим студентам.
В заключение этого параграфа рассмотрим еще одну задачу.
Пример 17.4 Космическая ракета движется вокруг Земли по орбите, почти совпадающей с орбитой Луны. При включении тормозного устройства ракета быстро теряет скорость и начинает падать на Землю (рис. 17.2). Определить время падения ракеты на Землю. Сопротив-
4 Ki 1899
97
лением воздуха атмосферы Земли и влиянием других тел пренебречь.
Решение. Физическая система ракета — Земля. Происходит движение ракеты в поле тяготения Земли. Из
решения предыдущих задач видно, что динамический метод приводит к сложному дифференциальному уравнению, а метод законов сохранения дает возможность найти лишь скорость ракеты в любой точке траектории, но не искомое время падения. Стандартные методы пока ни к чему не привели. Возникает догадка (I) рассматривать движение ракеты как движение спутника планеты Земля по очень вытянутому эллипсу, длина большой оси которого равна радиусу орбиты Луны #л~4-105 км, а экцентриситет е=1. Тогда можно использовать третий закон Кепле-
"(?)¦-№)'•
где t — время падения, T=27,3 сут — период обращения
Луны вокруг Земли. После вычисления находим ?=77(4]/?, что составляет примерно 4,85 сут.
17.2
§ 18. Поле тяготения при произвольном распределении масс
В этом случае для расчета поля тяготения используют принцип суперпозиции и метод ДИ (см. § б). Применяя этот метод при расчете напряженности поля, очень важно учитывать векторный характер этой величины. После нахождения элементарного вектора напряженности dE определяют его проекции dEx, dEy, dEz на соответствующие оси коор-. динат, а последующее интегрирование (суммирование) про-, изводят для каждой проекции отдельно.
Если напряженность поля известна, то задачу на движение тел в таких полях решают или динамическим мето-j дом, или методом законов сохранения.
Пример 18.1 Описать движение материальной точкіі в поле тяготения длинного тонкого однородного стержня массой M и длиной /. Влиянием других тел пренебречь\
98
Решение. Ограничимся решением одномерной задачи — предположим, что материальная точка в начальный момент времени находилась на оси стержня на расстоянии X0=I от одного из его концов (точка А на рис. 18.1)
7 т
СП CfA < Х А X
18.1
и имела начальную скорость, равную нулю (i>0=0). Физическая система состоит из двух тел: стержня и материальной точки (обозначим ее массу т). Физическое явление заключается в движении материальной точки в поле тяготения стержня.
Сила тяготения, действующая на материальную точку, неизвестна (она не равна F=GmMZx2, ибо стержень не материальная точка). Для применения динамического метода необходимо рассчитать поле тяготения стержня на его оси, т. е. найти вектор его напряженности E и потенциал ф. Применим метод ДИ. Будем считать, чгот<^.М. Инерциаль-ную систему свяжем со стержнем, начало координат поместим в левый конец стержня, а ось OX направим вправо. Разделим стержень на столь малые части, чтобы каждую из них можно было принять за материальную точку. Рассмотрим один такой элемент длиной dx, находящийся на расстоянии X от произвольной точки А на оси стержня. Его масса dm=pSdx, где S — площадь сечения стержня, ар — плотность. Так как выделенный элемент — материальная точка, то характеристики его поля (напряженность dE и потенциал dtp) известны:
Gdm GpSdA;
d?=^F =
,__Gdm__GpS dx
X X
Заметим, что в нашем случае все элементарные векторы напряженности dE направлены в одну сторону. После интегрирования получаем суммарные характеристики поля всех элементов стержня (Tk е. поле стержня):
L" J х* ~ X0 (1+Xo)' x0
1 + x0
GpSdx_ к
GM
In
Ко
99
Сила, действующая на материальную точку, находящуюся на расстоянии х от начала координат,
P___GMm .
По второму закону Ньютона
d*x = GM cU2— x(x+l)
получаем дифференциальное уравнение, после решения которого можно было бы найти закон движения материальной точки.
Применяя закон сохранения энергии в механике GmM, Z11 I \ GmM, Z1 , I \ . то*
I
можно определить скорость движения материальной точки, находящейся на расстоянии х от правого конца стержня:
,/2GAT 1 + //*
Рассмотрим несколько примеров более сложных полей. Пример 18.2 Определить напряженность поля тяготения тонкого кольца радиуса R и массы M в точке А (рис. 18.2), расположенной на оси кольца на расстоянии х от его плоскости.
