Решение задач по физике. Общие методы - Беликов Б.С.
Скачать (прямая ссылка):
_ tnv2 GmM
Из последнего уравнения определяем искомую скорость: v=V 2GM/r, V « 42,2 км/с.
Для расчета из таблиц были взяты значения гравитационной
постоянной G и массы Солнца М.
Пример 13.7 В стальной кубик массой M = I кг, находившийся в покое на горизонтальной поверхности, попадает стальной шарик массой т = \0 г, летевший горизонтально со скоростью Ux=IO3 м/с, и упруго отражается обратно (рис. 13.5). Определить, какой путь после удара пройдет кубик до остановки, если коэффициент трения между кубиком и горизонтальной поверхностью ?=0,2.
Решение. В физическую систему включим два тела: шарик и кубик,— которые можно принять за материальные точки. Земля — внешнее тело. Физическое явление состоит
77
и
в абсолютно упругом взаимодействии шарика и кубика (взаимодействие с внешним телом несущественно) и в их последующем движении. Начальное состояние физической системы (до взаимодействия) известно. Необходимо определить один из параметров - движения кубика (его її путь до остановки).
Так как силы, возни-X кающие в процессе вза-J35 имодействия шарика и
кубика, неизвестны, то описать этот процесс динамическим методом невозможно. Применим законы сохранения импульса и энергии в механике. Выбранная система в целом не замкнута, но в направлении движения шарика ее можно считать замкнутой. Инерциальную систему свяжем с Землей, а ось OX направим, как показано на рис. 13.5. Импульс системы до взаимодействия P1=ZnVi. Импульс системы после взаимодействия P2=^v2+Mu2i, где V2 и U2I— векторы скорости шарика и кубика соответственно после взаимодействия. По закону сохранения импульса,
mvi=mv2+Afu2i.
Проецируя это векторное уравнение на ось ОХ, получаем
то х=—mvt+Muii.
По закону сохранения энергии в механике , mvl/2 = mvl/2 + Mu2n/2.
Учитывая, что т<^М, после решения системы уравнений находим
2mvx 2mvi а і» 21 М-{-т M
Рассмотрим дальнейшее движение кубика. Очевидна постановка новой задачи: кубик массой M = I кг с начальной скоростью ип движется по горизонтальной поверхности * (коэффициент трения /==2-10"1) и останавливается; определить путь, пройденный кубиком до остановки.
В физическую систему включим два тела: кубик и Землю. Физическое явление заключается в замедленном движении кубика в результате его взаимодействия с Землей. Известно начальное положение системы. Необходимо определить один из параметров этого движения (путь до остановки). Это основная задача динамики. Так как силы вза-
7в
имодействия кубика с Землей известны, то эту задачу можно решить и динамическим методом и методом законов сохранения. Применяя второй закон Ньютона
Ma=/ Mg,
находим ускорение. Решая обратную задачу кинематики, определяем путь I1, пройденный кубиком до остановки:
'*eWeW» /lAl0° м' (13Л7)
Решим эту же задачу с помощью закона сохранения энергии в механике. Выбранная система замкнута, но применять этот закон в форме (13.15) нельзя (в системе действует неконсервативная сила трения FTP=/Mg). Считая внутреннюю неконсервативную силу трения внешней, из уравнения (13.16) находим
Отсюда получаем результат, совпадающий с (13.17) и полученный ранее динамическим методом:
Решенную задачу можно было бы сформулировать в виде такой, например, проблемы (проблемной задачи): в результате какого взаимодействия шарика и кубика путь, пройденный кубиком до остановки, максимален?
Изменим несколько условия примера 13.7: будем считать кубик неупругим телом, остальные условия сохраним прежними; определить путь кубика до остановки.
Процесс взаимодействия (абсолютно неупругий удар) описывается законом сохранения импульса
mvi={m+M)u22.
Отсюда определяем начальную скорость кубика (с учетом условия т<^.М):
U22^mV1IM.
Решая динамическую задачу дальнейшего движения кубика (любым методом), находим его путь до остановки:
<*«25м- <13Л8>
79
Из уравнений (13.17) и (13.18) видно, что в случае абсолютно упругого удара кубик до остановки проходит путь в четыре раза больший, чем при абсолютно неупругом взаимодействии.
Изменим еще немного условия примера 13.7: пусть в результате взаимодействия шарик, пройдя через кубик, продолжает движение в том же направлении со скоростью и3=500 м/с, остальные условия те же; определить путь кубика до остановки.
Применив закон сохранения импульса
mv1=mv2-\-Mu23,
находим начальную скорость кубика; U23=^m(V1—V2)IM.
Путь кубика до остановки
Таким образом, в случае абсолютно упругого удара (при условии т<^.М), и скорость и21, и путь I1, пройденный кубиком до остановки, являются максимальными.
Можно исследовать зависимость начальной скорости и пути, пройденного кубиком до остановки, от отношения масс mlM. В частности, для любого соотношения масс mlM (но при т<^.М)
U21I U22=Qi
и, следовательно, I1Il2=A.
глава 4
движение твердого тела § 14. Динамика твердого тела
Ускорение ас центра масс твердого тела определяется по теореме о движении центра масс:
ягас = 2р> (14Л)
где т — масса, a SF — геометрическая сумма внешних сил, действующих на твердое тело.
Внешний вид уравнения (14.1) совпадает со вторым законом Ньютона для материальной точки (11.4), и, следова-
