Решение задач по физике. Общие методы - Беликов Б.С.
Скачать (прямая ссылка):
E=E1+. . .+E7+. . . + Ея. (17.1)
Поле тяготения одной материальной точки рассчитано в предыдущем параграфе. Описание движения даже одного тела в поле тяготения материальной точки представляет некоторые математические трудности. Заметим, что физически решить такие задачи, т. е. составить замкнутую систему уравнений, применяя или динамический, или метод законов сохранения, относительно легко. Трудности для студентов первого курса возникают на математическом этапе, когда необходимо решать полученную систему (обычно дифференциальных) уравнений.
Сначала полезно решить несколько элементарных задач на оценку: рассчитать напряженность и потенциал поля тяготения на поверхности Луны, Солнца, Марса (указав, что g=GM/R2?u9,8 м/с2 — это напряженность поля тяготения на поверхности Земли), определить (оценить) первую и вторую космические скорости для Земли, Луны, Map-' са и т. д.
94
Затем можно сформулировать первую задачу на описание движения материальной точки в известном поле тяготения. Целесообразно даже дать ее как неп оставленную. Пример 17.1 На северном полюсе Земли вертикально вверх запускают ракету с начальной скоростью V0 (т. е. предполагается, что двигатели ракеты мгновенно сообщают ей начальную скорость V0 и далее отключаются). Описать ее движение.
Решение. Задача не поставлена. Первое упрощение очевидно: сопротивлением воздуха пренебрегаем. Ракету можно принять за материальную точку. Описать ее движение возможно, если будет найден закон движения ракеты. Закон движения существенно зависит от значения начальной скорости V0. Предположим, что U0 столь мала, что в точке наивысшего подъема ускорение свободного падения g± (а это напряженность поля тяготения Земли) незначительно отличается (скажем, не более чем на 1%) от ускорения свободного падения g0 на поверхности Земли. Полезно оценить эту высоту hi и соответствующую начальную скорость i>oi. Так как, по предположению, (go—gi)/g0 = 10~z и
_ GM GM
то H1ZZ R ( -1 — 1 \ и V01=V2g0h1, т. е. Zt1 ^32 км и
\ у О,99 /
i>Oi~800 м/с.
Таким образом, если v0<^v0t, то ускорение ракеты приблизительно постоянно и мы получаем тривиальную школьную задачу о равнозамедленном движении материальной точки вертикально вверх с постоянным ускорением g0. Закон движения в этом случае записываем в виде
x=v0t—g0P/2
и далее определяем любой параметр движения.
Не будем также рассматривать и случай, когда начальная скорость V0 больше или равна и2«11,2 км/с — второй космической скорости для Земли. Итак, мы можем сформулировать первую задачу в таком виде.
Пример 17.2 На северном полюсе Земли вертикально вверх запускают ракету с начальной скоростью V0, удовлетворяющей условиям v2>v0'>Voi. Найти закон ее движения. Сопротивлением воздуха пренебречь. Действие Луны, Солнца и других тел на движение ракеты не учитывать.
95
Решение. В физическую систему включим два тела: ракету и Землю. Ракету можно принять за материальную точку. Поле тяготения Земли (сферическое тело) известно. Происходит движение материальной точки (ракеты) в известном (неоднородном) поле тяготения. Необходимо определить закон движения ракеты. Это основная задача динамики материальной точки.
Применим второй закон Ньютона. Инерциальную систему отсчета свяжем с Землей (так как масса Земли значительно больше массы ракеты, то Землю принимаем за неподвижное тело), ось OX направим вертикально вверх, начало координат поместим в центр Земли. На ракету действует единственная сила — сила тяготения. Очень важно отметить, что эта сила переменная. Тогда, по второму закону Ньютона,
тх=—GmMIx2 (для x^R). (17.2)
Задача физически решена: получено одно дифференциальное уравнение для неизвестной функции X(І) — координаты ракеты, которая и является искомым законом движения. Однако решение этого уравнения для студентов первого курса является весьма затруднительным. Необходимо подчеркнуть два момента. Во-первых, нужно отметить, что уравнение (17.2) в принципе решается и в конечном итоге можно получить искомый закон движения ракеты. Во-вторых, уже здесь можно сказать студентам, что иногда в процессе решения физических задач получаются такие уравнения, точного решения для которых не существует вообще. Тогда необходимо обратиться к ЭВМ для получения числовых и приближенных решений.
Попробуем упростить постановку задачи, используя не динамический метод, а метод законов сохранения. Применим закон сохранения энергии к выбранной системе Земля — ракета:
то\ mGM mv* mGM /17 Qv
1 R---2---F-'
где V — скорость ракеты в точке с координатой х.
Отсюда можно определить максимальную координату ракеты (при и=0):
*raax^_J?M__. (17.4)
гаах 2GM-vlR V '
Если начальная скорость V0, например, равна первой космической скорости U1= VOM[R1 то максимальная коор-
96
дината xmax=2R, а максимальная высота подъема hmax = *=i?«6400 км. Из уравнения (17.3) можно получить зависимость скорости ракеты от координаты х:
v= ]/~vI-2Gm(±—I) . (17.5)
График этой зависимости представлен на рис. 17.1. Теперь мы можем сформулировать вторую, более простую задачу.
