Решение задач по физике. Общие методы - Беликов Б.С.
Скачать (прямая ссылка):
Дифференциал искомой величины найден. Сила, действующая на каждый элемент отрезка, зависит от расстоя-) ния X этого элемента до нити. Поэтому и выберем это расстояние X за переменную интегрирования. Оно изменяется в пределах от Ar1=Z-O до х2=г0-\-1. Интегрируя уравнение (19.11) по х, получаем
Подстановка числовых значений приводит к результату F«l,2.10-a Н.
(19.11)
_________In /
2ле0 X 2лє0 \ >о
111
Можно изменить условия решенной задачи, расположив отрезок параллельно нити, под углом к нити, в плоскости, перпендикулярной нити, и т. д. Все эти варианты задач могут быть решены одним и тем же методом ДИ.
Рассмотрим поля, созданные кривыми линиями, поверхностями и т. д.
Пример 19.4 Полуокружность радиуса R =2 м равномерно заряжена зарядом Q=IO-9 Кл. Определить напряженность электрического поля, созданного этим зарядом в геометрическом центре полуокружности. Решение. Физическая система состоит из двух объектов: равномерно заряженной зарядом Q полуокружности и электрического поля этого заряда. Напряженность поля неизвестна. Заряд Q, находящийся на полуокружности, неточечный, ибо он расположен на теле, размеры которого nR сравнимы с расстоянием R, рассматриваемым в данной задаче. Поэтому неверным было бы решение
е=ш^* ?~2,2В/м. (19.12)
Теорема Гаусса приводит к очень сложным вычислениям.
Применим метод ДИ. ИСО свяжем с полуокружностью, ось OX направим вправо (рис. 19.5). Разделим полуокружность на столь малые дуги dl, чтобы заряд dQ=Qd//(лR) каждой такой элементарной дуги был точечным. Рассмотрим один такой точечный заряд. Он создает электрическое поле, вектор напряженности ClE1 которого в точке А составляет угол а с осью ОХ. Очевидно, что любому элементарному заряду в верхней полуплоскости найдется симметрично расположенный заряд в нижней полуплоскости. Геометрическая сумма векторов dEi и dEa — вектор, направленный вдоль оси ОХ. Следовательно, при суммировании необходимо учитывать только проекции элементарных векторов напряженности на ось ОХ:
19.5
dEx = dEt cos a = d^p8 cos a =
Q cos a dl 4л2є0/?3
(19.13)
112
Первый этап (нахождение дифференциала искомой величины) закончен.
Проведем второй этап (интегрирование, суммирование). Необходимо выбрать переменную интегрирования. Положение точечного заряда на полуокружности определяется углом а. Поэтому угол а и выберем в качестве переменной интегрирования. По определению, угол а измеряется отношением длины дуги / к радиусу R окружности: a=l/R. Так как dl=Rda, то
,с- Q cos ос] і Интегрируя это уравнение по углу а, получаем
+ л/2 -Я/2
Правильное решение (19.14) значительно отличается от неверного решения (19.12). Если преобразовать формулу (19.14), вводя линейную плотность электрического заряда на полуокружности y=Ql(nR), то мы получим, что напряженность электрического поля в центре равномерно заряженной дуги в виде полуокружности
E= У 2ne0R
определяется такой же формулой, как и напряженность поля прямой бесконечной равномерно заряженной нити (19.4).
Тем же методом можно рассчитать поле равномерно заряженного кольца (полукольца и т. д.) в любой точке, расположенной на его оси на расстоянии х от плоскости кольца. Рассчитав поле кольца, можно поставить задачу о движении заряженной частицы вдоль оси кольца (при x<^.R это движение является гармоническим). Затем можно поставить задачи о расчете поля равномерно заряженной полусферы, части сферы и т. д.
Пример 19.5 В центре полусферы, равномерно заряженной электричеством с поверхностной плотностью заряда а, расположен свободно ориентированный точечный диполь с электрическим моментом ре. Определить потенциальную энергию диполя и период его малых колебаний относительно оси, перпендикулярной оси симметрии полусферы. Момент инерции диполя относительно оси вращения равен Л
113
Решение. Физическая система состоит из равномерно заряженной полусферы и диполя. Ни одно из этих тел нельзя считать материальной точкой. Диполь назовем точечным, если длина его столь мала, что в любом неоднородном поле (поле полусферы неоднородно) вращающий момент, действующий на диполь, можно рассчитать по формуле ,
M=IpE], (19.15)
19.6
где р — электрический момент диполя. Известно, что в однородном поле эта формула справедлива для любого диполя.
Для ответа на вопросы задачи необходимо сначала рассчитать поле полусферы (его напряженность E) в центре полусферы. Применим метод ДИ. Разделим полусферу на узкие кольца. Рассмотрим одно такое кольцо (рис. 19.6). Заряд кольца dQ=2ji#2o-sin0d6, где R — радиус сферы.
Проекция элементарного вектора напряженности dE поля кольца на ось OX (ось симметрии полусферы) в точке О
dE
n a sin 6 cos 6 d6 с08є=-w0-
(19.16)
Интегрируя это соотношение по 9 в пределах от Ox=O (наиболее удаленное кольцо) до 62=л;/2 (ближайшее кольцо), находим -
л/2
г, Г о sin 6 cos 8 dO о /in іт\
е=)—w0—= 1 <19л7>
Так как вращающий момент (19.15), действующий на диполь, известен, то из уравнения движения (14.7) получаем дифференциальное уравнение его малых колебаний
Уф = — рЕу, или ф + (о?ф —0,
