Решение задач по физике. Общие методы - Беликов Б.С.
Скачать (прямая ссылка):
Из уравнения (12.4) и начальных условий (х=х0, х=0 при t=0) можно найти закон движения:
X=X0 sin((o0t+n/2).
Таким образом, льдина совершает гармонические колебания. В реальных условиях колебания льдины будут затухающими. Поэтому усложним условия рассмотренной задачи, учтя силу сопротивления воды и изменив начальные условия.
Пример 12.3 Льдине из предыдущего примера в начальный момент времени сообщили скорость, равную V0. Определить ее скорость в произвольный момент времени, если сила сопротивления воды пропорциональна скорости льдины: Fc =—rv, где г — коэффициент пропорциональности.
Решение. Очевидно, что льдина будет совершать затухающие колебания. Применяя второй закон Ньютона, получаем дифференциальное уравнение этих колебаний:
тх = — rx — p?gx,
или
26л;'+ O)02X = 0, (12.7)
где ь=г1 (2т)—коэффициент затухания, a (H0-Vрв§/(РпН)— собственная частота колебаний.
Как известно, решением уравнения (12.7) является функция
X = x0e~6t sin (<at -f а0),
где о ==1/0)2 — б2—частота затухающих колебаний.
Начальную амплитуду х0 и начальную фазу а„ определим
64
из начальных условий (х=0, X=V0 при /=0)і 0 = xosinao, 1
U0 = — x0o sin a0 +AT0Cu cos a, /
откуда a0=0, X0=V0'со.
Таким образом, получен закон движения льдины
X = — е-6'sin cot. со
Отсюда легко получить искомую скорость льдины в произвольный момент времени:
v = x = v0 ^coscd/—~ sinсоі^е~6і.
Легко видеть, что в условиях примера (12.3) площадь поперечного сечения льдины S уже не лишняя, а необходимая для расчетов величина.
Пример 12.4 Пластины плоского воздушного конденсатора расположены вертикально. Пластины соединяет горизонтальный гладкий диэлектрический шток, по которому может скользить небольшая муфта массой т=10~г кг, прикрепленная к пружине, коэффициент жесткости которой A=IO-1 Н/м (рис. 12.4). Муфта обладает электрическим зарядом Q=IO-8 Кл. На пластины подается переменное напряжение U = U0 sin cot, еде ?/0=104 В. Определить, при какой частоте со амплитуда колебаний муфты будет равна X0=I см. Расстояние между пластинами d=\0 см. Силой сопротивления воздуха пренебречь.
Решение. Физическая система состоит из одного тела — муфты, обладающей электрическим зарядом. Все остальные тела — внешние. Под действием переменного электрического поля муфта совершает вынужденные колебания. Применяя второй закон Ньютона, получаем дифференциальное уравнение этих колебаний:
Q
тх = — kx + - J U0 sin cot или X -f- CO0X =
,2—QVo siW>
md
12.4
65
Решением этого уравнения является функция X=X0 sin (otf (12.8)
где амплитуда
*0==7~2 її Z' (12.9)
(coo—(o2)md
Из закона движения (12.8) видно, что муфта совершает гармонические колебания. Искомая частота определяется из уравнения (12.9):
-V-
т mdx0 *
Отсюда (oa9,5 рад/с.
Мы рассмотрели несколько примеров на механические колебания. Все эти задачи были решены одним и тем же динамическим методом. Таким образом, задачи на механические колебания являются частными случаями основных задач динамики.
§ 13. Законы сохранения
Кроме кинематического и динамического методов решения задач в физике существует еще один, может быть более] важный, метод применения законов сохранения. Этот методі является более универсальным, чем кинематический и ди-1 намический. Если применение динамико-кинематического] метода ограничено рамками только классических физиче-1 ских систем, то метод законов сохранения используется и классических, и в квантовых системах. ^
Необходимо все же отметить, что в классических физи-j ческих системах динамико-кинематический метод являете* более общим, чем метод законов сохранения. В особенносп это относится к механическим системам. В принципе, любаї поставленная механическая задача может быть физическі решена с помощью динамико-кинематического метода. Этог< нельзя утверждать относительно метода законов сохране ния: далеко не все механические задачи решаются путем использования законов сохранения. Однако в более слона ных системах метод законов сохранения иногда быстрее приводит к успеху, чем применение динамико-кинематЛ ческого метода. Щ
Мы уже отмечали, что одного универсального способи (метода) решения задач по физике не существует. Огромней
66
значение здесь имеет лишь система методов. Поэтому нет смысла противопоставлять один метод другому: каждый метод обладает и сильными, и слабыми сторонами. Природа столь разнообразна в своих свойствах и проявлениях, что для раскрытия связей в физических явлениях необходимо разумное сочетание различных методов. Поэтому и при решении физических задач целесообразно использовать систему методов, в том числе динамико-кинематический и метод законов сохранения.
В основе рассматриваемого метода лежит совокупность законов сохранения. В физике их довольно много. В классических системах используются следующие четыре: закон сохранения импульса, закон сохранения энергии (в механических системах его частный случай — закон сохранения энергии в механике), закон сохранения момента импульса и закон сохранения электрического заряда. Общим для всех этих законов является утверждение о сохранении какой-то физической величины при определенных условиях. Если обозначить эту неизменяющуюся физическую величину через А, а набор условий, при которых выполняется утверждение закона, через В, то законы сохранения можно сформулировать в обобщенной форме: если выполняется В, то A = const; или в другом виде: если выполняется В, то ДЛ=0, где АЛ — изменение величины А.
