Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
значения, а также средние значения соответствующей величины в любом
квантовом состоянии действительны. Поэтому все физические величины
(наблюдаемые) должны изображаться эрмитовыми операторами.
Мера неопределенности величины F в произвольном состоянии определяется
как _________
AF = yJ(F-F)* = ^W) - (F)2, (Д3.21)
где усреднение производится с волновой функцией рассматриваемого
состояния. Если эрмитовы операторы F и G двух физических величин не
коммутируют, [F, G\ = гМ, где М - тоже эрмитов оператор, то в
любом
квантовом состоянии имеет место следующее соотношение неопределенностей
для этих величин:
AFAG^±\M\. (Д3.22)
Здесь усреднение производится с волновой функцией рассматриваемого
состояния. В частности, для декартовых координат и сопряженных с ними
импульсов в любом представлении имеют место перестановочные соотношения
Гейзенберга18 и соотношения неопределенностей
\ха, Р/з\ = ihSa0, [ха, х0} = 0, [ра, р0] = О, АхаАр0 ^ 15а0,
(Д3.23)
где Н - уже встречавшаяся ранее постоянная Планка. Из (Д3.23) следует,
что компонента импульса и одноименная координата не имеют одновременно
определенных значений и не могут быть точно измерены. Однако, три
координаты или три составляющие импульса можно измерить сколь угодно
точно.
Оператор проецирования на состояние фдо = \qo) можно записать в
дираковских обозначениях в виде
Рд о = ЫЫ, (Д3.24)
17По имени французского математика Ш. Эрмита (1822-1901).
18Вернер Гейзенберг (1901-1976) - немецкий физик-теоретик, один из
создателей квантовой механики.
Общая схема квантовой теории
707
так как, действуя на суперпозицию (Д3.12), этот оператор выделяет из
полного вектора состояния компоненту, соответствующую орту |<2о):
= '^2Cq\qo)(qo\q) = Cgo\q0) q
Условие полноты системы собственных функций можно записать через оператор
проецирования в форме равенства
?P9 = X>>tal=l, (Д3.25)
Q Q
где 1 - оператор тождественного преобразования (дельта-символ Кроне-кера
либо дельта-функция Дирака). Частными случаями условия (Д3.25) являются
полученные ранее равенства (1.239) и (1.242). Равенство (Д3.25) приводит
к удобной записи любого оператора
F = l.F.\l = J2\<l)Fqq'(q'\ (Д3.26)
qq'
и позволяет легко переходить от одного представления к другому.
Пусть некоторое квантовое состояние описывается волновой функцией Ф(х) в
^-представлении; произведя разложение
ф(ж) ='^2(Р^)Фя(х),
Q
получим cp(q) = f ф*(х)Ф(х) dx = (д|Ф) - волновую функцию исходного
состояния в (/-представлении; наконец, записав
x(Q) = <Q|i • Ф> = = &Ф),
q
получаем связь между волновыми функциями в q- и Q-представлениях. Здесь U
= {(Q\q)} - оператор унитарного преобразования от q- к Q-представлению.
Оператор обратного преобразования U~x = {(q\Q)}, так что (p(q) = U~1x(Q)•
Оператор U можно рассматривать как матрицу, строки которой перенумерованы
точками собственных значений наблюдаемых в Q-пространстве, а столбцы -
точками (/-пространства. В операторе U~x строки и столбцы меняются
местами, причем (q\Q) = (Q\q)*- Поэтому оператор унитарного
преобразования обладает важными свойствами
U+ = U~1, ии+ = и+и = Т,
(Д3.27)
708
Дополнение 3
обеспечивающими сохранение нормировки волновых функций. Аналогично
преобразуются операторы физических величин, например,
Fq = UFgU-1 (3.28)
при переходе q -> Q.
Развитие квантовой системы во времени описывается в одном из трех
эквивалентных временных представлений (не путать с выбором обобщенных
координат!) В представлении Шредингера19 операторы наблюдаемых не зависят
от времени t (за исключением возможной зависимости от t оператора
взаимодействия V(t) системы с внешним потенциальным полем), зависимость
от времени содержится в волновых функциях и определяется из динамического
уравнения Шредингера
(Д3.29)
с начальным условием Ф(?о) - где Фо - начальный вектор состояния,
Ж - оператор Гамильтона (гамильтониан) системы, явный вид которого может
быть подсказан принципом соответствия.
В представлении Гейзенберга зависимость от времени переносится целиком на
операторы, а вектор состояния не зависит от времени:
Ф(*) = ехр(|3^)ф(?) = Ф0 (ДЗ.ЗО)
(здесь и далее предполагается, что гамильтониан не зависит явно от
времени и to = 0). Операторы величины F в представлении Гейзенберга (Н) и
Шредингера (S) связаны соотношением
FH(t) = = U+(t)FsU(t), (Д3.31)
где
U(t) = exp(-|5n), U+(t) = U~1(t) (Д3.32)
- унитарный оператор преобразования. Гамильтониан системы одинаков
в представлениях Гейзенберга и Шредингера: Жн = Жз = Ж. Имеет-
ся еще представление взаимодействия, о котором речь пойдет в разделе 6.2
ЖЩ) = ih
ot
19Эрвин Шредингер (1887-1961) - выдающийся австрийский физик-теоретик,
один из создателей квантовой механики.
Общая схема квантовой теории
709
при рассмотрении взаимодействия квантовых систем. Все предыдущие формулы
верны в любом представлении.
Оператором F производной по времени от физической величины F называется
такой оператор, который во всяком состоянии ф удовлетворяет соотношению
