Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
= Рпп(п| ехр(^а^) ехр(-к*а)\п). (6.135)
п
Воспользуемся разложением функции от оператора в ряд Тейлора,
оо
ехр(-к*а)|п) =
771 = 0
а также свойством оператора уничтожения
аш\п) = д/п * (п - 1) * ... (п - т)\п - га), если т и ат\п) = 0, если п <
га. Тогда
п п
П 1=0 т=0 1\^(п-1)\ т\у/(п - то)!
Г)
"пп\-1"| ) 7у^П'
п /=0
(n-l\n-m) = YY Рпп(-\к\2)1 ~
Сумма по I может быть представлена многочленами Лагерра, в соответствии с
их определением (см. [Абрамович и Стиган (1979)])
V(-l)z ------------х1 = Ln(x)
tC 11 (п - 1)\
что приводит к следующему разложению:
в[к, к*] = ^рппЬп(\к\2).
П
Подставляя в это разложение матричные элементы, найденные выше, и
учитывая тождество
ОО г
уП
п\
__ п.П
-Ln(x) = evJ0(2^/xy),
n=0
6.4. Ответы и решения
655
получим следующее представление для производящей функции через функцию
Бесселя нулевого порядка:
в[к, к*} = 70(2|к||а0|),
где в правой части при проведении дифференцирований по ft либо ft*
следует использовать равенство: |ft| =
В заключение заметим, что поле, описанное в рассмотренной задаче, может
быть сформировано, например, случайным классическим током I(t) = |ао|
ехр(г(с<;о? + <р)), где ао и а;о - постоянные амплитуда и частота тока, а
(р - случайная начальная фаза, равномерно распределенная в интервале от 0
до 27г.
6.39. Воспользуемся тем, что характеристическая функция суперпозиции двух
независимых случайных процессов равна произведению их характеристических
функций
9[к, ft*] = 0i[ft, ft*]#2[ft, ft*] = exp(ft"o - ft*"o) exp(-nftft*).
Первое равенство в этом соотношении фактически является определением
понятия суперпозиции, поскольку, как можно убедиться, при этом
обеспечивается следующее разбиение основных статистических моментов по
соответствующим моментом формирующих случайных процессов
(а) = (а) 1 + (а) 2 (а* а) = (ata)i + (at a) 2 + (a^)i(a)2 + (at)2(a) 1
и т.д. Параметр п характеризует среднее число фотонов в некогерентном
гаусовом излучении. Функция квазивероятности Глаубера-Сударшана в
соответствии с (6.43) связана преобразованием Фурье с нормальной
характеристической функции (6.39). Предоставляем читателю убедиться
самостоятельно, что квазивероятность, в этом случае, определяется
сверткой квазивероятностей составляющих случайных процессов
&(а) = J )&>2(сх- f3)d2!3 =
= h jw ~ ao) 16X13 (-d2/3 = шexp ("•
Полученный результат имеет прозрачный физический смысл. Возникающее в
результате суперпозиции квантовое состояние представляет колоколообразное
распределение сосредоточенное в окрестности среднего значения ао
656
Глава 6
и "размытое" в пределах радиуса неопределенности \Щ. В пределе п -> О
данное распределение переходит в ^-функцию, характерную для когерентного
состояния. В противоположном случае = 0 переходит в распределение Гаусса,
характерное для некогерентного излучения.
6.40. Вычисляя корреляционную функцию с помощью квазивероятности
Глаубера-Сударшана, находим
Gm,m _ j ^(a)a*mamd2a = J ^exp d2a = m\n
для равновесного теплового источника и
Gm,m = [ 0Р(а)а*шат ^ = [ §, _ а )а*(tm)ат
?а = , ,2 = ^
- для когерентного одномодового поля.
6.41. По определению сжатые состояния определяются как собственные
функции из уравнения
(1) (>а + i'at)|7, /3} = fi\j, (3),
где \fi\2 - \v\2 = 1. Оператор pa + va) может быть представлен как
результат унитарного преобразования оператора уничтожения под действием
оператора сжатия
(2) ца + vcfi = S(^)aS\~i),
в чем можно убедиться, если применить операторное тождество
ещ>(А)В ехр (-А) = В + [А, В] + [А, В}\ + ...
для случая В = а и А = 7*a2/2 - 7а'*'2/2. При этом р = ch г, ^ = е2м9 sh
г.
Таким образом, уравнение (1) может быть преобразовано к следующему виду:
(3) 5(7)а5+(7)|7, /3) = /3|7, /3),
ИЛИ
(4) a5f(7)|7, Р) = Р§47)|7, Р)-
6.4. Ответы и решения
657
Последнее соотношение показывает, что функция (7)|7, ft) описывает
когерентное состояние, соответствующее собственному значению ft, т. е.
\/3) =
= S'*'(7)|7, ft). Следовательно,
|Т, /5) = ?(7)1/3) = S(j)D((3)\vac)
Отметим, что в процессе решения задачи установлено, что, с учетом общей
фазовой неопределенности в определении волновой функции, комплексные
параметры /1 и ту могут рассматриваться как функции двух вещественных
параметров г и д. Последние, в свою очередь, могут быть объединены в
единый комплексный параметр 7.
6.42. Воспользуемся определением сжатых состояний
(1) (ра + va])\n, v, /3) = p\fi, v, (3).
Умножим это равенство слева на бра-вектор произвольного когерентного
состояния (а|
(2) {a\(ia + туа^\ц, v, ft) = ft(a\ц, v, ft).
Используем одно из возможных представлений когерентного состояния (см.
решение задачи 6.32)
(3) |а) = exp^-ехр |vac),
тогда левая часть равенства (2) может быть преобразована следующим
образом:
(4) (а\/ш + туаЦр, ту, ft) = /i(a\a\ii, ту, ft) + v{a\a^\ii, ту, ft) =
= i±{vac| exp ^ - exp (a*a) a|/i, v, ft) -\-туа*(а\ц, ту, ft) =
= fi (d/da* + a/2) (vac\ exp exp (a*a) \ ji, v, ft) +
+ туа*(а\(i, v, ft).
Обратим внимание на то, что в последнем равенстве а и а* рассматриваются
