Сборник задач по электродинамике - Батыгин В.В.
ISBN: 5-93972-155-9
Скачать (прямая ссылка):
магнитное поле, приводит к результатам, отличающимся от (1) только
заменой Е на Я. При выполнении такой замены нужно учитывать, что sh ia =
г sin a, chia = cos а. Случай Е = Н можно получить из написанных формул
предельным переходом Е -> Я. Результат:
параллельно оси х со скоростью V = Щ- (см. задачу 603). Интересующие
hf
Г -¦ |-л '-'Г " Ж- UX7 * KJy7 * UZ
СГ
выражены через величины без штрихов. В результате получим:
Лоренца: х = F и т.д. При этом Е', j/0x, р'0у, p'0z
должны быть
Е(срохЕ - SqH) Н(ё0Е - ср0хН)
Х ~ тс(Е2 - Я2) Т е(Е2 - Я2)3/2
\
sh ху/Е2-Н2т+
<?0Е - сррхН е(Е2 - Я2)
(chxy/E2 -Н2т-1)+
(!)
_ Н(ср0х-ёоН) Ш
~ тс(Е2 - Я2) Т +
И т.д.
Решение для случая б) аналогично решениям задач 692, 695.
§ 2. Движение заряженных частиц в электромагнитном поле 527 11, откуда,
например, в случае, рассмотренном
699. Т
в задаче 697, получим:
Т = So ch хЕт + cpoz sh хЕт - me2.
700. Исходя из результата задачи 603 и вычисляя ^ с точностью до
Е V Еу
первого порядка по 77, получим - = . Схема решения - как в задаН
с н
че 600. Во всех вычислениях нужно пренебречь малыми членами второго
и более высоких порядков по ^ и -. Окончательно найдем:
Н Н с
х = asmut + -?y-(cos u>t - 1) + c-jy-i,
EL
u>
H
у = a(cosu>t - 1) + sin u>t,
eEzt2
2m
+ v0zt,
где
Vox
a =
cEy
H
u>
И U) =
eH
me
(1)
В начальный момент t = 0 частица находится в точке х = у = z = 0. В
формулах (1) содержится, в частности, результат задачи 696.
701. Выберем ось х вдоль направления распространения плоской волны.
Тогда поле волны будет полностью характеризоваться двумя функциями от t',
например, Ey(t') и Ez(t'):
Е[ 0, Ey(t'), Ez(t% Н[ 0, -Ez(t'), Ey(t')\.
Из уравнений (XI. 19) сначала получим, что t' = т, затем найдем уравнения
движения частицы в параметрической форме:
Г Г
Ж(Т) = 2m?c /^ dT' У(Т) = ^ fPv dT'
о о
г г
z(T) = mJp*dT- Чт) = т + -^Jpldr,
о о
528 Глава XI
Т
где рх = е f E(t') = eypy+ezpz - составляющая импульса частицы в плос-
о
кости Б, Н.
702. Координаты частицы:
х = хо cosu>t, у = уо chu>?, z = vt,
где^ = "
Из полученных зависимостей x(t) и y(t) видно, что с помощью линзы
рассматриваемого типа может быть сформирован пучок заряженных частиц,
имеющий форму плоской ленты.
(tm)3- *(7f^w) = 7rt73+e?' + |(-ff"i+ff'rd)'
Первое и третье из этих уравнений имеют вид обычных уравнений движения
Ньютона ^но с переменной массой т а^~)- При этом в правой
ТПТП2 и
части первого уравнения содержится член -j====, не зависящим от вида
электромагнитных сил (центробежная сила). Второе уравнение выражает
производную по времени от момента импульса частицы относительно оси z
через z-составляющую момента силы Лоренца.
704. При Я = 0 траектории электронов прямолинейны. По мере увеличения
магнитного поля траектории все больше искривляются в плоскости,
перпендикулярной оси. Введем цилиндрические координаты г, a, z, где z
совпадает с осью цилиндра. Электроны перестанут попадать на анод,
когда при г|г=ь = 0. При этом й|г_4 = Воспользуемся вторым из уравнений в
ответе к задаче 703, которое в данном случае принимает вид:
§ 2. Движение заряженных частиц в электромагнитном поле 529
Проинтегрируем (1) вдоль траектории частицы от г = а до г = 6:
г=Ь
тг2а
¦у/1 - v2 /с2
2тг Hrdr=-^~.
2пс
Отсюда
Vi?(i+^
Ф,ф = ^Prnax = 2псЬХ1 ( 1 + S ), (2)
если воспользоваться результатом задачи 621 и тем, что Tmax = |е|V.
При малой разности потенциалов \е\V <С тс2 (это эквивалентно тому, что v
•С с), результат (2) упрощается:
Фкр = 2тгс6^^. (3)
705. Разность потенциалов V должна быть больше, чем
Vt0 = J*? in2| + m2c4 шс2
При \e\V < тс2 (нерелятивистские электроны) получаем из общей формулы:
_ 2J?2|e| 2 6
^~~ тпИ 1п а • тс
Рос2
706. 6 = ае , где ро = туо -
^1 - v2/<?
708. Воспользуемся цилиндрическими координатами г, а, начало которых
совпадает с зарядом Ze и полярная ось направлена вдоль момента импульса
частицы. Тогда движение происходит в плоскости 2 = 0, причем г будет
представлять собой расстояние между зарядами - е и Ze. Первые два
уравнения в ответе к задаче 703 примут вид:
I __mr__\ _ mra2_____Ze2
dt\^/l-v2/c2) y/\-v2/c2 г2 '
530
Глава XI
Из второго уравнения следует, что момент импульса является интегралом
движения:
,wr2d = К = const. (2)
у/1 - v2/<?
Другим интегралом движения является полная энергия системы
тс
,2
Ze2
г
= const. (3)
Из выражения (3) видно, что возможны траектории двух основных типов. При
больших значениях г полная энергия § = тс2 + Т (Т - кинетическая
энергия), поскольку при г -> оо потенциальная энергия -^-> 0.
Так как Г > 0, то при Е < тс2 частица не может далеко отойти от
притягивающего центра и ее траектория заключена в ограниченной области
(финитное движение). При Е > тс2 существуют ветви траектории, уходящие на
бесконечность (инфинитное движение).
Найдем дифференциальное уравнение, которым определяются траектории
частицы. Из (2) следует
d = d dt mr2 dot *
Подставляя (3) и (4) в первое из уравнений (1), получим дифференциальное
