Сборник задач по электродинамике - Батыгин В.В.
ISBN: 5-93972-155-9
Скачать (прямая ссылка):
область ограничена прямой у = (т - mi)2/2m, снизу - гиперболой х =
_ ±ijy2 + 2rai2/
647. Диаграмма Далица имеет вид, изображенный на рис. 1056.
(r)) max ~ 7^2max ~ Тзпах И 69,8Мэв.
б) Tlmax=(m~Jl)2 "127Мэв, T2max = T2max = m22~TO' " 228 Мэв.
Максимальные импульсы всех трех частиц одинаковы.
Рис. 106
Рис. 107
648. Диаграмма Далица в приближении Q <С т, приведена на рис. 106.
OB = Q, Д = Q/3, Ттах = 2Q/3 и 50Мэе.
649. Диаграмма Далица приведена на рис. 107 ,OB=Q,Tm Внутренняя
замкнутая кривая дается уравнением
й210А/эв.
(2тпу + у2)[{тш - т,)2 - 4т2 - 2тшу\ 3[(тш - т,г)2 - 2тшу\ '
§ 1. Энергия и импульс 505
650. ^-функцию от 4-векгора нужно понимать как произведение четырех 5-
функций от его компонент:
S(Pi ~ Рп ~ Pi2 - Ра) = 6(р - Pi - Р2 - Рз) = S(8 -81-82- 83). (1)
Произведя интегрирование по ("фз) с помощью (1), придем к выраже-
нию
Г = / + + шз + 2Р1Р2 с°3^ - ft), (2)
где 83 = т - 81 - 82, д - угол между pi и рг.
Представим (dp2) в виде (dp2) = р2 dp2 dfl2, где сК12 - элемент телесного
угла. Примем за полную ось направление pi; тогда dfl2 = 27rsintid'd.
Кроме того, р2 dp2 = 82 d82, как следует из (XI.3). Преобразуем 5-функцию
в (2), использовав формулу (П 1.18):
5(\Д>1 +P2 + + 2pip2 cos'd-83) = 2836(2р1р2 cosi9+pf+p2+m^-8^).
(3)
Поскольку - 1 ^ cos i9 ^ 1, то интеграл (2) будет отличен от нуля только
при выполнении неравенств
Р1+Р2> РЗ, Р1~Р2 <РЗ, Р1~Р2> ~РЗ,
но именно эти неравенства определяют границы разрешенной области на
диаграмме Далица.
С помощью (3) и (П1.5), выполнив интегрирование по dd, получим
Перейдем теперь к интегрированию по переменным
Т2-Т3 81 + 282 + т3 - т2 - т ^
х =------ =------------------------------, у = = й>\ - т\,
V3 уД
которые использовались при построении диаграммы Далица. Преобразовав
элемент d8i d82, найдем
= 2\/Зтг2 J
dxdy,
где область интегрирования ограничена внутренней кривой диаграммы (см.
рис. 1056-107).
506
Глава XI
Последняя формула показывает, что элемент фазового объема <fT = = 2\/37г2
dxdy пропорционален элементу площади на диаграмме Далица. Энергии Ti,r2 и
Гз частиц, образующихся при распаде, можно измерять экспериментально и
наносить соответствующие точки на диаграмму Далица. При этом густота
точек будет пропорциональна величине р (см. условие задачи), которая,
таким образом, может быть найдена из данных эксперимента.
651. Рассмотрим 4-векгор энерпш-импульса системы частиц р". Он
сохраняется, т. е. его соответствующие компоненты до и после реакции
равны между собой. При значении кинетической энергии То, соответствующем
порогу реакции, образовавшиеся частицы покоятся в системе ц. и. (заметим,
что в лабораторной системе отсчета частицы не могут покоиться при
пороговом значении То, так как это означало бы нарушение закона
сохранения импульса). Вектор полного 4-импульса системы до реакции имеет
в лабораторной системе вид:
где (c)о - полная энергия и ро - полный импульс на пороге.
После же реакции в системе ц. и. 4-импульс равен р[ = (Мс, 0). Вследствие
инвариантности квадрата 4-вектора и закона сохранения 4-им пуль-/0)2 #2
ca, р\ =Pi ¦ Запишем последнее равенство в развернутом виде:
откуда
Мгс = - + 2тп1§0 + rnfc - Ро, с
г2
То = (М - т 1 - т)(М + mi + т).
652. а) То = 288 Мэв; б) Т0 = 160 Мэв; в)Т0 = 763Мэв;
. ^ 2тр(т + 2тр)с2
г) Т0 =--------щ-------,
где rrip - масса протона.
В частном случае столкновения с протоном тп = тпр, имеем
То = 6шрс2 = 5,63 Гэв.
Приближенная формула для пороговой энергии:
m 2(А + 2) 2
т0 = -j-тРс¦
При больших А, То ~ 2шрс2.
§ 1. Энергия и импульс 507
би- M'+sfrK
В случае а) имеем по приведенной выше приближенной формуле AS = То = 2,18
мэв (тп = 0).
IQI2
По точной формуле (см. задачу 574) мы получили бы больше на-------= и
2тп\с
и 0,0012А/эв, где Q = -(М - тп\ - тп)с2 - тепловой эффект реакции. В
случае б) приближенная формула дает То = 2|Q| = 7,96Мэв. Отличие от
точной формулы составляет 0,003 Мэв.
654. Уравнение реакции имеет вид:
7 + (частица) -"е++е" + (частица).
Порог можно найти по общей формуле (см. задачу 651):
То = Ншо = 2^(mi + 2m _ mi)(mi + 2m + mi) = 2mc2(l + щ),
где тп - масса электрона (или позитрона). Когда частицы нет, так что 7п 1
-> 0, пороговая энергия То -> оо, что и означает невозможность реакции.
Последний результат можно также получить, показав невозможность
выполнения равенства ki = p+i +p~i, где ki, p+i, p-i - 4-импульсы фотона,
позитрона и электрона. Возводя обе части равенства в квадрат, будем иметь
k2 = (S+ + S-)2-( р++р-)2.
Но к2 = 0, а инвариантная величина, стоящая в правой части, не равна нулю
ни при каких значениях р+,р_. Это становится очевидным, если перейти в
систему отсчета, в которой р+ + р_ = 0.
Су/8"* - тп\с4
656. v = -----------^-.
8 + ГП2С
657. По закону сохранения 4-импульса
P(li +P(2i =PH+P2i- (1)
Чтобы определить угол рассеяния первой частицы, перенесем ри налево и
возведем обе части получившегося равенства в квадрат:
Ри 2 + P{2i 2 +Pli + ЧРиРъ - 2РнРН - ЪРъРн = pli- (2)
