Сборник задач по электродинамике - Батыгин В.В.
ISBN: 5-93972-155-9
Скачать (прямая ссылка):
508 Глава XI
Согласно (XI.7), р$2 = p2t = -т2с2, р$2 = р|г = -тп^с2. Скалярные
произведения преобразуются следующим образом (р^ = 0):
ГО) ГО) _ "(0) "(0) 1 "(0) "(0) _ " ГО) _ ^ ф
Pli P2i - Pi ¦ Р2 2 1 2 - <&0^2j P2i Pli - m2(r)lj
С
PliPu = Pl0) • Pi - -3<?1(0)<?1 = P0P1 costfi - 2
где po = Л \/<oo - mjC4. Подставляя полученные выражения в (2), найдем: с
<2>i(<§b + ТП2С2) - (?о Ш2С2 - ш2с4
COS1?i =
c2p0pi
Аналогично
(<§ь + т2с2)(?2 ~ т2с2)
COS и 2 = -----------5-----------------.
С POP2
658.
(ть + ^f) (i + 70^7) ± costfi(7o2 - 1) sin21?!
mic2-----------------------------------------------------------, (1)
('>0 + ^7) - (7o - l)cos2i?i
(7o + ^)2 + (7o2-1)cos21?2 ,
<?2 = ----------~2--------------------m2c , (2)
('>0 + ^7) -(7o-1)cos2i?2
где
7o =------o'
mi с
Из этих формул видно, что при mi > m2 возможно рассеяние только
на углы не превышающие arcsin ^/^7 (подкоренное выражение в (1)
должно быть положительно). При этом каждому значению $1 отвечают два
значения энергии
При mi = m2 угол рассеяния i?i не превышает ^ и каждому значению i?i
отвечает только одно значение энергии, соответствующее выбору
§ 1. Энергия и импульс
509
знака "+" в формуле (1). Знаку "-" отвечало бы значение = mi с2
независимо от угла рассеяния, что, очевидно, не соответствует
действительности. По аналогичной причине в числителе формулы (2) для <§2
оставлен только знак "+".
При т\ < m2 возможно рассеяние на любой угол и каждому значению д\
отвечает одно значение 8\. Если 0 < д\ < то в формуле (1)
нужно выбрать знак "+", если ^ < д\ < 7г, то нужно выбрать знак "-".
При таком выборе знаков рассеянию налетающей частицы на больший угол
соответствует большая потеря энергии, как и должно быть.
Правило знаков сформулировано в решении задачи 658.
663. Угол разлета частиц х = ^i + ^2 выражается формулой:
1 + ТГ^1 _cos1?) мс
So - АЕ
1 +
МС
662.
tgx =
v[ sin2 + (V - ui)(l - costf')
С
(ср. с задачей 568).
510 Глава XI
При т\ = 7712 скорости v\ = v'2 = V и
.
V2 sin
В этом случае х < 90°. В нерелятивистском пределе х "* 90°.
664. Поступая так же, как при решении задачи 657, получим:
ш = - ,
-p0COS1?l + ^(1 - COS1?)
где i? - угол между направлениями движения первичного и рассеянного
фотонов"; д\ - угол между направлениями начального движения электрона и
движения фотона после рассеяния.
Если электрон до столкновения покоился, то
Шо
ш -
1 + - COS1?)
7Т1С
665. Энергия рассеянного кванта максимальна при i?o = i9 = 7r, i?i =0,
т. е. при лобовом столкновении с рассеянием кванта назад. При этом
fko яз hujQ--------------. (1)
Не2)2
~2sT+2fkJ0
Из (1) видно, что в улырарелятивистском случае происходит значительное
"ужесточение", кванта, fkj fkjо. Отметим два частных случая.
При fuxjQ "с me2 формула (1) дает: <?о " " hw0.
Если же fkJo " mc2(^-), то fuo приближается к ё0.
cut ее t Poc(costf0 - costfi) + Й"0(1 - costf)
666. 6 - &о = пшо-^------------------------------------ - -i-.
Обозначения
(c)о - poccoswi + лшо(1 - cos и)
углов те же, что в задаче 664. Покоившийся вначале электрон при
столкновении с фотоном всегда увеличивает свою энергию:
р (fiwo)2(l - cosi?)
& - тс =
me2 + hw( 1 - cosi?)
§ 1. Энергия и импульс
511
Если электрон обладает до рассеяния импульсом ро 3> 1ио/с, то его энергия
увеличивается при рассеянии, если 'до < i?i, и уменьшается в противном
случае. Максимальное ускорение электрона получится при i?o = 0, д = =
= 7г. При этом
$ - <?п - 2Тш)о-
Pqc + hujg
з + Рос + ho о
Если электрон нерелятивистский, но рос " hoо, то S - <§о = 2hoo(vo/c) <С
<С hu)Q. Если электрон ультрарелятивистский, то S - Sq и hoо и условия
ускорения электрона оптимальны.
Рис. 108
где
667. s = 4(тп2 + q2), t = -2g2(l - cosi?), и = -2g2(l + cosi?). 668' ga
= Po =
S'b = 2v^^S + m* ~~
А(ж, у, г) = x2 + y2 + z2 - 2 xy - 2 xz - 2 yz.
512
Глава XI
Поскольку в системе ц. и. ра = -рь, то величина s имеет смысл квадрата
полной энергии в этой системе отсчета:
s=(K + $'b)2=(K + $'<t)2-
669. 8С = 2~(mb + (tm)?с - и),
§d=2щ(ть + md ~ c = 1-
спп ___а (s-ml-ml){ml+ml-u) + 2ml{t-rn2a-rn2c)
670. cos и =-------- ---------;
y/X(s,ml,ml)y/X{u, т%,т2)
___а, _ s2 + s(2t -ml- ml-ml- m2d) + (ml - ml)(ml - m2d)
COS t/ - •
y/X(s,m2,ml)y/X(s,m2,ml)
Здесь с = 1, а величина А определена в ответе к задаче 668.
Рис. 109
671. Величина s = (<??. + <?') имеет смысл квадрата полной энергии двух
частиц в системе ц. и., поэтому она всегда положительна. Минимальное
значение smjn = (т + М)2 соответствует случаю, когда 7г-мезон (масса т) и
протон (масса М) покоятся в системе ц. и. Таким образом, (тп+ + М)2 < s <
оо.
§1. Энергия и импульс 513
Косинус угла рассеяния в1 в системе ц. и. связан с s и t формулой
s2 + s(2f - 2 М2 - тп2) + М2(М2 - тп2)
cos в1 =
(s - M2)y/s2 - 2 s(M2 + тп2) + (М2 - тп2)2
(1)
Поскольку - 1 < cos в' ^ 1, то, подставляя в это двойное неравенство cos
в' из (1), найдем допустимые при заданном s значения t.
Физическая область заштрихована на рис. 108. Порогу реакции отве-
