Сборник задач по электродинамике - Батыгин В.В.
ISBN: 5-93972-155-9
Скачать (прямая ссылка):
к задаче 562,
[-2 (VXV)2] 2 = -74 . о 2(v*v)2 v2 +72--TL-
_ с ш с ш
< 0, т. е.
v, = 72[v + ^(v-vh L V
Отсюда квадрат ускорения
(1)
v'2 = 74
v2 + 7!(^v)
2п
М)Т
(2)
Если скорость частицы меняется только по величине, то v || v и
v' = 73v.
(3)
Если скорость частицы меняется только по направлению, tov1vhv-v = = 0,
так что
v' = 72v. (4)
Результат (2) можно получить и другим, более простым способом,
воспользовавшись выражением квадрата четырехмерного ускорения, найденным
в предыдущей задаче. Квадрат о;2 является 4-инвариантом. Это значит, что
вычисление ojf как в системе 5, так и в системе S' должно дать один и тот
же результат. Замечая, что скорость частицы \' = 0, получим формулу (2).
476 Глава X
wt + ад(1 - 0o)~1/2
565. v(t) =
y/l+c-2(wt + v0(l-ft)-'/2)2'
= w {v/i+c_2M+wo(1-^)-1/2)2-(1-/6§)_1/2}+Xo.
В ультрарелятивистском пределе:
v(t) И C, x(t) FS ct + X0 + 000
Wy/l -В нерелятивистском пределе:
v(t) =V0+ Ljt, x(t) = Xo + V0t +
566. Время разгона по часам в неподвижной системе:
Г=н/-
dv
(1 - V2/c2)3/2 |v| y/l - v2/c2
о
Время разгона по часам в системе, связанной с ракетой,
1 + v/c
-ГГ In
2 v
1 - v/c
2,5 года.
567. Формулы (1) описывают преобразование Лоренца с малой относительной
скоростью Av и поворот на угол Д<р = |Д<р|, причем ось вращения проходит
через начало координат и параллельна вектору Д<р. Эти преобразования
вследствие малости Av и Д<р могут производиться в любой
последовательности. Таким образом, мгновенно сопутствующая система
является вращающейся. Это вращение представляет собой чисто
кинематический релятивистский эффект и называется прецессией Томаса (см.
задачу 558).
При и<с формулы (2) принимают вид
Ду и 5v, Д05 и х v.
2 с2
В этом пределе величину
5<р 1 . шт = --rv х v. St 2с2
можно рассматривать как угловую скорость томасовскои прецессии мгновенно
сопутствующей системы относительно лабораторной системы 5.
§ 1. Преобразования Лоренца
All
568. В системе S: cos а = ,Vl ,,V2,. В системе S':
|vi||v2|
(vi - V) • (v2 - V) - -i(Vl x V). (v2 x V)
/ С
cos а = - - .
/(VI - V)2 -i(viX V)2^(V2 - V)2 - X(v2 x V)2
569. Угол в системе S' стремится к нулю. Для того чтобы убедиться в
этом, положим V = Voc, где |Vo| = 1. Вычислим cos а' по формуле,
полученной в предыдущей задаче. Воспользовавшись формулой
(а х Ь) • (ai х bi) = (а • ai)(b • bi) - (а • bi)(ai • b),
получим
с2 - Vl • V - v2 • V + 4r(vi • V)(v2 • V)
i c i
cos a =-------- ---- ----= 1,
откуда a' = 0. Это сужение углового распределения является характерным
релятивистским эффектом, проявляющимся во многих явлениях.
570. Определение угла аберрации сводится к вычислению двух углов (рис.
96): угла ai между направлением луча АС и направлением скорости v Земли в
первом ее положении и угла а2 между направлением ВС луча и направлением
скорости v' Земли во втором ее положении (через полгода). Угол аберрации
5 можно определить как 5 = {ж - а2) - ац = = 7Г - ai - а2. Углы а2 и а2
вычислим по формулам (Х.15), выразив их через угол 'в, который
наблюдается в системе отсчета, связанной с Солнцем, между лучом ОС света
и вектором скорости Земли:
sint? _ ч 1 sint?
tg(TT-ai) = I- • д, tg(7r-a2)
7 cos - (3 ' 7 cos + (3 '
где P = 7 = 1 .
c л/Г^
Отсюда находим
,5 1 - cos 5 a . a
^2 = \1т+^5=^тА
478
ГлаваХ
Заметим, что все три угла между скоростями, изображенные на рис. 96,
относятся к разным системам отсчета и что сам рисунок условен (например,
изображенные на нем отрезки АС = СО = СВ = с).
Из полученных результатов видно, в частности, что угол аберрации 6
зависит только от относительной скорости v Земли и Солнца и не зависит от
скорости Солнечной системы относительно звезды.
Рис. 96
571. Если положение Земли на орбите определяется азимутальным углом <р,
и а = (0, а.0, аа) - вектор, проведенный из точки (•&, а) небесной сферы
в точку видимого положения звезды на небесной сфере, то
(Lg = -/3 cos?? • sin(a - <р),
aa = -/3 cos(a - <p).
Отсюда видно, что видимое положение звезды на небосводе в течение года
описывает эллипс с полуосями (3 cos д и /3.
572. Рассмотрим в системе S пучок внутри телесного угла dCl = = sin д
dti da. В системе S' этот пучок будет наблюдаться внутри угла dfl' =
= sinд' dd' da'. Угол a = а', а costf' = .COSf-Отсюда
1 - Р cos V
dQ' = sin д' dd' da' =----1 ~ ^ 0 dQ.
(1 - {3 cos $)
При этом, разумеется, f dQ' = f dQ = An.
§ 1. Преобразования Лоренца
479
573. ^ •- ----, где No - полное число
<т' 4тг dfi' 4тг (l-/?cosi?')
видимых звезд.
574. ш + п '^0 или а> = -----------------, к = 7^к' +
+ + (7 - D(k' xV)xX ГДе п = П' = * = ?.
575. Если шо - частота в той системе, где источник покоится иУ-скорость
источника относительно приемника света, то приемник зареги-
/ V2
стрирует меньшую частоту lo = а>о w 1--------(красное смещение).
Угол а луча с направлением движения источника в системе его покоя
определяется формулой:
V
cos а = --.
Угол а близок к 90° только при V с. Если V -> с, то а -> 7г.
576. а) А
