Сборник задач по электродинамике - Батыгин В.В.
ISBN: 5-93972-155-9
Скачать (прямая ссылка):
Если Q1 < Q2 тах> то полная добротность Q резонатора для тех типов
колебаний, у которых Q2($) > Qь будет практически одинаковой и близкой к
Q1. Если Q\ > Q2 max, то Q будет определяться, в основном, величиной Q2 в
соответствии с формулами (3).
Глава X
СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
§ 1. Преобразования Лоренца
с.1, х'-х'0 + V(t'-t'o) , ,
543. х - х0 =------- ^-----, у-уо = ? ~ Уо>
t' -t'0 + ^(x' -х'о) j ^ * * с
z- z0 = z' - z'0, t - t0 =
546. Координаты часов, показывающих равное время t = t' в системах 5 и
S':
* = >, *' = -?(l-I)t.
Из этих формул видно, что точка, в которой t = t', движется равномерно в
каждой из систем S и S'. Если ввести систему отсчета, относительно
которой эта точка неподвижна, то S и S' движутся в противоположные
стороны с равными скоростями Vo = у ^1 - ^ (Vo представляет собой
релятивистскую "половину" скорости V в том смысле, что релятивистское
сложение двух скоростей Vo даст V).
547. В системе S' продолжительность одного периода Т' = 21/с; в системе
S время 7\ движения "зайчика" вдоль стержня в направлении относительной
скорости V вычисляется из уравнения
T^^ly/l-Vyct + VT!),
время движения в обратном направлении Т2 получается заменой V на -V. Для
отношения Т' к Т = 7\ + Т2 находим
Y = \/i - vVc2,
откуда следует (Х.7).
472
ГлаваХ
549. а) Нельзя. 12 час ООмин могут показывать одновременно двое часов в
одной из систем отсчета и только одни часы в другой системе отсчета.
б) Показания пространственно совпадающих часов не зависят от выбора
системы отсчета:
/о
tA' = 12 час 00 лшн + - = 13 час ООлшн;
tA = 12 час ООмин + 1 - = 12 час Збмин.
Показания оставшихся часов В я В' будут зависеть от выбора системы
отсчета вследствие относительности одновременности.
А' т У *> 6 У S' Ъв'у А'( У ъ с У S' Г)В'
( С Э Ф *
А 'S ч В X у А а) '3 е)в х
Рис. 94
С точки зрения наблюдателя на "платформе" (рис. 94а):
te' = 12 час 21,6лшн, tg = ^ = 12 час Збмин.
С точки зрения наблюдателя в "поезде" (рис. 946):
tB> = tA> = 13 час ООмин, te = 13 час 14,4лшн.
в) С точки зрения наблюдателя на "платформе":
tA = 13 час ООмин = te, te' = 12 час Збмин, tA' = 13 час 14,4лшн.
С точки зрения наблюдателя в "поезде":
tA = 12 час 21,6лшн, Ьа> = tg' = 12 час Збмин, tg = 13 час ООмин.
Во всех случаях отстают те часы, показания которых приходится сравнивать
с показаниями двух часов в другой системе отсчета.
§ 1. Преобразования Лоренца 473
550. По земным часам: At = 8 лет. При расчете запасов снаряжения следует
брать в основу промежуток времени Ato = 0,01Д? и и 1 месяц по часам в
ракете;
Т = тс2(7 - 1) = 2,5 • 10" квт-ч.
Это количество энергии в 10000 раз превышает годовую выработку
электроэнергии во всем мире в настоящее время.
-с* 2Zo At
' V (At)2 + /о/с2 '
Для наблюдателя, связанного с первым масштабом (рис. 95а), сначала
совпадут левые концы, потом правые; для наблюдателя, связанного со
v
11 I ----------1 "Л
V
21 =1--------- I 12
а) б)
Рис. 95
вторым масштабом (рис. 956), - наоборот. С точки зрения наблюдателя,
относительно которого масштабы движутся с одинаковой по величине
скоростью, концы совпадают одновременно.
552. Введем поперечную и продольную компоненты радиуса-вектора г:
г л.г У , лт-г' • V.
II у2 ' II у2 '
Г_|_=Г-Г||, Г/_1_=Г/-Г||.
Применив к г|| и rj_ преобразования Лоренца (Х.1), получим
Г11 = У>(ГП + vO> rx=r'j_.
Окончательно:
r = 7(r- + W) + (7 -1)(Г'Х?5><У. < = -у(?+^).
474 Глава X
553. А = 7(а' + ^Л(,) + (7-1)(А х V, Л0 = 7(^0 + ^^-)-
v' + V+(7-l)^[(v'-V) + K2]
554. v = V11 + vi = ------------------------------, где v и v' -
скорости в системах S и S'. Можно также просто продифференцировать по
времени радиус-вектор г, выраженный через г' и t' по формуле, полученной
в задаче 552.
558. Угол томасовской прецессии определяется соотношением
v2y/l - V2/c2 + v2y/l-v2/c2
<р = - arccos ¦
V2 + v2 - V2v2/c2
При ti,VCc угол уз и 0.
При v -" с угол tp -" - arccos y/l - V2/с2\ если при этом иУ-*с, то <р -"
7г/2.
I , 1- v2/c2
559. I = lQ----Y72-
1 + v2/c2
560. a)V = 2-0,9с = 1,8c; б) V = 0,994с.
561. Относительная скорость двух частиц в системе, связанной с од-
Он
ной из них: V =------Щ:-Отсюда
1 + v2/c2
в, тс2 "г ' Я" 4 2
=mcJK3) -']¦
V'l -V2/c2 L W2 В ультрарелятивистском случае <§о 3> тс2 и,
следовательно,
2§1
тс2
Если ускорению подвергаются электроны (тс2 = 0,5 Мэе), то, например, при
ё0 = 50 Мэе получается выигрыш мощности ускорителя в 200 раз: ? = = 10
000 Мэе.
§ 1. Преобразования Лоренца
475
562. Эту задачу, как и задачу 554, можно решить двумя способами.
Результат:
(7 - l)(v' • V)V (v' • V)v'
1 v'
7 2s2
где
s = 1 +
7 3a3y2
v'-V
72s3c2
Из этих формул видно, что если в одной системе отсчета частица движется с
постоянным ускорением v', то в другой системе отсчета ускорение v, вообще
говоря, зависит от времени (так как в формулы преобразования входит
переменная скорость v' частицы).
563. w? = -76 четырехмерное ускорение - пространственноподобный вектор.
564. Пусть S' - мгновенно сопутствующая частице система. Согласно ответу
