Сборник задач по электродинамике - Батыгин В.В.
ISBN: 5-93972-155-9
Скачать (прямая ссылка):
Qqi 6 '
Будем искать решение, мало отличающееся от xq2:
равно xq2 = где а<и = 2,4, Jo(aoi) = 0 (см. задачу 514).
¦*2 = *02 + -*2 =
где Да имеет порядок не ниже а/6. Считая aoi ^ 4С1, используем
приближенные формулы для Jo, No, Ji, N\ из приложения 3. Это дает вместо
(1) уравнение
e[(x2a)2N0(x2b) + |jo(^26)J = (х2a)2 ^N0(x2b) + | In Jo(^6)].
Электромагнитные колебания в ограниченных телах 455
Положим в нем ЛГо(хгб) = No(aoi+Aa)иiVo(aoi). Jo(><2b) = - Ji(awAa).
Тогда, отбрасывая малый член с логарифмом, получим
а. Л l\*"oi iVo(aoi) (а\2
Фазовая скорость волны
" - 4L -______________-___________
v ~ k ~ I-------------------------'
еш2 (aoi+2aoiAa)
V"?" Ь2
Вводя обозначение и>о = aoi 7 ~ 2,4^ (минимальная частота для волновода,
о о
не содержащего диэлектрика) и подставляя табличные значения iVo(aoi) и
Ji(aoi), получим
<2>
Если волновод заполнен диэлектриком целиком (а = 0), то
v* = c[e- (?) ] 2.
Граничная частота частично заполненного волновода
лежит между граничными частотами незаполненного и целиком заполненного
волновода:
Шп
< ^гр < ^0-
Vе
Фазовая скорость (2) становится меньше скорости с при частотах
Таким образом, волновод, частично или целиком заполненный диэлектриком,
является замедляющей системой: фазовая скорость электромагнитных волн в
нем может быть меньше с. Важной особенностью медленных
456
Глава IX
волн является то, что они могут эффективно взаимодействовать с пучками
заряженных частиц. Взаимодействие волн с пучком частиц может быть
использовано как для генерации и усиления электромагнитных колебаний
сверхвысокой частоты (клистрон, лампа с бегущей волной, магнетрон), так и
для ускорения частиц (линейный ускоритель).
523. Граничные условия на анизотропно проводящей плоскости имеют вид
Индексом 1 обозначена область у > О, индексом 2 - область у < 0. Первые
два равенства являются следствием идеальной проводимости полосок,
последние два выражают отсутствие тока в направлении, перпендикулярном
полоскам. Кроме того, Еу = Ez = 0 при х = ±а и все составляющие поля
должны быть ограничены при у -> ±оо.
Решая уравнения Максвелла с указанными граничными условиями, найдем
Elx~E2x = 0, #1х = #2Х, Eiz=E2z-
@ix = 0, Siy =-Be cos ax
Slz = iBj^e~^v cosax,
К
3№iz = -iBj^-e sin ax,
где k0 = ш/с, В - постоянная.
Постоянная распространения к выражается через ш по формуле
Электромагнитные колебания в ограниченных телах 457
Для заданного т волна может распространяться, если ее частота из
заключена в пределах
1 < ^ < / 2 . s/ё " "*", " Ve + l'
при этом А: меняется от 0 до оо.
Если е = 1 (диэлектрик отсутствует), то система превращается в резонатор:
в ней возможны колебания при дискретных частотах ит = сат. При ? > 1
рассмотренное устройство является замедляющей системой. Групповая и
фазовая скорости волн в ней меньше скорости света с.
524. Волны электрического типа в рассматриваемом случае существовать не
могут. Волны магнитного типа:
Ж =
i§oc
UJT
So с
cos хх - k jjj- sin xxj,
Жх = (k sin xx - xjjj- cos xxj, gz = g0 sin xx, 8х = 8у = Жу = 0,
Mo
Граничная частота
11"
Как следует из формул для Жх и Жх, конфигурация магнитного поля для волны
данного типа зависит от знака к, т. е. от направления распространения
волны, и от знака ца, т.е. от направления постоянного магнитного поля.
Этот эффект связан с гиротропией среды, заполняющей волновод.
525. Уравнения Максвелла для комплексно-сопряженных амплитуд 8*о, Ж о
имеют вид:
rot*S - *Ме, х &*о) = -7Г-*5.
ги).
п"
(1)
rot Л?; - iko(ez х Ж*0) = ^8*0.
Амплитуды 8, Ж удовлетворяют уравнениям
rot? + ik(ez x 8) = Щ-р'Ж, rot Ж + iko(ez х Ж) = -^-?'8,
(2)
458 Глава IX
где ?'Ж, е'& - векторы с компонентами ц[кЖк, e'ikSk', p'ik = e'ik = Sik,
вне области, занятой диэлектриком, ц[к = Hik, e'ik = ?ik - внутри этой
области.
Из уравнений для rot и rot Ж следует:
Ж rot 81 - S*Q rot Ж + i(k - k0)(ez x 8*0)Ж = -ш(Ж -Ж*о-?8-8*o). (3)
Проинтегрируем обе части этого равенства по поперечному сечению волновода
S. Первые два члена можно преобразовать следующим образом:
J{Ж rot - "о rot Ж) dS=\ J div(^o х Ж) dV.
s V
В последнем выражении интеграл берется по объему, ограниченному стенкой
волновода и двумя сечениями, отстоящими друг от друга на расстояние I
(подынтегральное выражение не зависит от z).
Применяя затем теорему Остроградского-Гаусса, получим
J div(?o х Ж) dV = J (Sq х Ж) ¦ ndS = |(nx 8*0)^dS.
На стенке волновода = 0 в силу граничного условия §от = 0,
а интегралы по сечениям входят с противоположными знаками и взаимно
сокращаются. Поэтому
J(п х ^о) - Ж dS = 0
и равенство (3) дает
(к - ко) j(8* х Ж) ¦ ezdS = -lj У(Ж-Ж1)<И-s s
- J(8-8*0)dS- J AeS-S*0dS
AS
(4)
где Де = ? - 1 и AS - поперечное сечение области, занятой диэлектриком.
Таким же путем из уравнений для rot# и тоЬЖ^ находим
(к-ко) J(*lxX) • ez dS = и) У (Ж ^*0)dS-s s
- J{S-8l)dS+ J АцЖ-Ж^Б
AS
где ДД = Д - 1.
(5)
Электромагнитные колебания в ограниченных телах 459
Складывая равенства (4) и (5), получаем формулу, приведенную в условии
