Сборник задач по электродинамике - Батыгин В.В.
ISBN: 5-93972-155-9
Скачать (прямая ссылка):
размеров системы (т. е. А " R, Ь).
534. В квазистационарном приближении (Ао = 'Ikc/ujq а, b) счи-
таем, что электрическое поле целиком сосредоточено между обкладками
конденсатора, а магнитное поле - внутри тороидальной камеры. При таких
предположениях резонатор эквивалентен обычному колебательному контуру,
состоящему из емкости и индуктивности. Емкость конденсатора С =
/I__fl\2 _______
= ^ , самоиндукция тора L = 4ж(Ь - \/62 - а2) (см. задачу 269).
Собственная частота:
Высшие типы колебаний рассмотренного резонатора не могут быть вычислены в
квазистационарном приближении, так как для них не выполняется условие А "
а, Ь.
536. В коаксиальном волноводе, закороченном с одной стороны (при z = 0)
идеально проводящей перегородкой, устанавливается стоячая поперечная
волна с напряженностями поля:
(Вычисление самоиндукции проволочного кольца см. в задаче 272). По
формуле Томсона (VII.3)
U>z jut
(1)
В любой плоскости, перпендикулярной оси волновода, распределение
электрического поля такое же, как в цилиндрическом конденсаторе, и можно
Электромагнитные колебания в ограниченных телах 463
считать, что оно создается разностью потенциалов
Д^ = Л1п|зт^ (2)
между центральным стержнем и оболочкой.
Эту разность потенциалов следует приравнять напряжению на обкладках
конденсатора, образованного торцом стержня и верхней крышкой резонатора:
A<p\z=h = q/C. (3)
Здесь С = a2/(Ad) - емкость конденсатора; q - заряд одной из
обкладок,
который можно выразить через силу тока протекающего по стержню
(или равный ему по величине и противоположный по направлению ток в
оболочке)
J = -iujq.
Вычисляя силу тока по известному магнитному полю (1) и подставляя ее, а
также разность потенциалов (2) в формулу (3), найдем трансцендентное
уравнение, которому удовлетворяют собственные частоты:
. " u)h 2/ка2ш . b
ctg- = --j- In-. с са а
Это уравнение легко решается графически. При wh/c <С 1 (это означает, что
А " 2пh - квазистационарное приближение) получаем
тз -2Л1п* 4 а а
Vlc'
где L - коэффициент самоиндукции отрезка коаксиальной линии длиной h. В
этом приближении вычисляется только одна - низшая - собственная частота
(ср. решения предыдущих задач 532-535).
При d = 0 (закороченный с двух сторон отрезок коаксиального волновода)
имеем
= т = 1,2,... (4)
Это означает, что на длине резонатора должно укладываться целое число
полуволн: h = -т^т •
464 Глава IX
537. Поле в резонаторе описывается уравнениями Максвелла (VIII. 1),
(VIII.2), причем В = Н, D = Е. Умножим первое из них скалярно на Н", а
второе - на Е" и проинтегрируем по объему резонатора:
v dV = -с J Н" • rot Е dV, ^ JЕ • Е"dV = с JЕ" • rotHdV.
(1)
Считая собственные функции Е", ортонормированными в соответствии с
условием (IX.3), вычислим интегралы в правых частях равенств (1):
А
dt
Ju-HvdV = 4жр", ^ J-E-E"dV = 4nq". (2)
Собственные функции Е^, удовлетворяют уравнениям: rot Е" = ik" Hv, rot]
rot rot Е^ = fc^Ej/, rot rot ]
tH" = j
(3)
где k^(fci, k2, ka) - соответствующие собственные числа (они вычислялись
в задачах 529, 531). С помощью (3) можно преобразовать интегралы, стоящие
в правых частях равенств (1),
div[E х rot Е"] = rot Е" • rot Е - Е • rot rot Е" = г/с"Н" • rot Е - к2Е"
• Е, поэтому
J Н" ¦ rot Е dV = -ik" J Е" • Е dV + J div[E х rot Е"] dV =
= -Anik"q" + ^ Н" • [n х Е] dS, (4)
где последний интеграл берется по внутренней поверхности резонатора и п -
орт нормали, направленный в глубь проводника. Но поле на стенке
резонатора удовлетворяет условию (VIII. 10), которое можно записать в
виде
СНТ = п х Е. (5)
Собственная функция Н" резонатора с идеальной проводимостью имеет на
стенке только касательную составляющую, поэтому при подстановке (5) в
интеграл (4) можно заменить Нг на Н. В итоге, собирая формулы (1)-(5),
получим уравнение
Электромагнитные колебания в ограниченных телах 465
Второе уравнение выводится аналогичным путем:
q" - iu)vpv = 0. (7)
Исследуем влияние конечной проводимости стенок на v-yl тип колебаний
идеального резонатора. Возмущенное поле Н при ? -*> 0 должно переходить в
невозмущенное поле, т. е. в сумме
Ы = 'у ^ру'Ну'
V'
должен оставаться один член с и1 = и. Следовательно, амплитуды р"/ с i/ =
= v пропорциональны ( и их подстановка в (6) дает члены порядка (2 и
выше. Пренебрегая такими членами, заменим Н в (6) на р"Н" и получим
уравнение вида
pv - iuvqv = -pv ^ j> Hi dS. (8)
Если исключить одну из переменных (р") с помощью (8), то для другой
получится уравнение
qv + u)lq" +(^j>HldS)qv=Q. (9)
Величина, стоящая в скобке, комплексна. Поэтому уравнение (9) описывает
гармонический осциллятор, на который действует "сила трения" - f Н2
dS^Jq,,, где С - действительная часть поверхностного импеданса.
Решая последнее уравнение, найдем комплексную добавку - *7" к собственной
частоте идеального резонатора. Потери приводят к затуханию собственных
колебаний с декрементом
lv~ 8тг
j^H^dS (10)
и к сдвигу собственных частот на величину
bu,v = ^fl%dS, (11)
