Статистическая теория необратимых процессов - Айзеншиц Р.
Скачать (прямая ссылка):
X — X1-sT-X2-1T ... —|— Хдг,
(9.10) 102
ГЛАВА III
а ее многомерную функцию распределения в виде
FixvX2.....xN) = f (X^f(X2) f(x3) .... f(xN).
Непосредственно вычисляя средние значения по (9.6), мы найдем
X = N(x), (X^) — (X)2 = N[(x2) — (xf\. (9.11)
Следовательно, среднее значение суммы возрастает пропорционально N, но дисперсия функции распределения, возрастает пропорционально только N'/г. Если N достаточно велико, то функция распределения обращается в нуль фактически везде, за исключением непосредственной окрестности среднего значения, вероятность которого достигает единицы. Это один из примеров действия закона больших чисел').
Приведенные выше рассуждения сохраняют силу и для дискретных переменных, но в этом случае интегралы в уравнениях (9.1) — (9.3) (9.6) и должны быть заменены суммами.
В качестве примера важной функции распределения рассмотрим переменные хп, способные принимать только два дискретных значения (а и Ь) с вероятностями а и ? — 1 — а соответственно. Сумма, определенная по (9. 10), может, следовательно, принимать значения
Na, (N— \)а-{- b..... (N — k) + kb.....Nb-,
аР, ..... (ї)""""*?*' . Г-
Вероятности значений суммы, перечисленные в нижней строке, выводятся путем непосредственных рассмотрений перестановок. Обозначая через р число переменных, имеющих значение Ь, мы можем представить совокупность этих вероятностей в виде функции распределения по переменной р
лгч IY1VvI NlaF-pO.-а)" ,о 10ч
/(^НЫ J (AT-P)IfM (9Л2)
') Современные и общие формулировки закона больших чисел даны в работах А. Н. Колмогорова (см., например, дополнительную литературу (166, 167, 204]). — Прим. ред. ВЕРОЯТНОСТЬ
103
Это равенство называется биномиальным распределением или распределением Бернулли'). Оно может применяться к ряду повторных измерений, в которых делается выбор между двумя возможностями. Среднее значение р непосредственно связано с функцией распределения вероятностей по переменным Xn
(p) = nv = n(i-ol), (р2)-(py = na (1-а). (9.13)
Это один из примеров, когда среднее значение некоторой переменной может быть выражено через вероятность другой переменной. Подобный же случай имеет место при рассмотрении средних значений от q(&) в (6. 11), которые представляют распределение вероятностей по е.
') Обычная теоретико-вероятностная формулировка биномиального закона распределения вероятностей гласит: вероятность Pn (т) того, что при проведении серии из п независимых испытаний событие А наступит т раз, равна
m^n-mV. pm^-p^m'
где P — вероятность наступления события А в каждом отдельном испытании.
Важное значение для физических приложений теории вероятностей имеет полиномиальный закон распределения (представляющий собой обобщение биномиального закона), согласно которому вероятность Рп(ть тг, ..., ттого, что при проведении серии из п независимых испытаний событие А{ наступит тх раз, событие A2 — т2 раз, ..., событие Ak — тк раз, равна
Pn («,, щ.....тк) = —.-^-г 1P^ ...
nv " 2 /и,! т2\ ... тк\ 1 2 й
где «і + Ot2+ ... +/иА = п.
Применительно к классической статистике Больцмана полиномиальный закон может быть сформулирован следующим образом. Пусть в объеме V, разделенном на конечное число k ячеек, содержится п частиц (молекул). Тогда Р„(ть т2.....тк) представляет
собой вероятность того, что в первой ячейке окажется /K1 частиц, во второй — т2 частиц, ...,в 6-й ячейке — тк частиц. При этом термодинамическая вероятность состояния (т. е. число микросостояний, реализующих данное макросостояние), очевидно, определится следующим образом:
Г - щ.....m^ = "1
Р™1Р™г ...Pltt тх\тг\...тк\'
— Прим. ред. 104
ГЛАВА VIII
Рассмотрим предельный вид распределения Бернулли. Придавая фиксированные значения вероятностям аир, будем стремить N к большим значениям. Факториалы в (9.12) удобно выразить по формуле Стирлинга In (я!) = «[In«— 1]. В предельном случае дискретную переменную р можно заменить непрерывной. Оказалось, что в этом случае
Это один из примеров нормального распределения, наиболее часто используемого в статистических исследованиях. Центральная предельная теорема вероятностей устанавливает, что сумма статистически независимых переменных распределена по закону нормального распределения, каковы бы ни были функции распределения для индивидуальных переменных.
Другой предел распределения Бернулли получается, если вероятность ? уменьшается пропорционально числу переменных, так что q = N§ не зависит от N. Это предположение вовсе не является столь искусственным, как кажется на первый взгляд. Оно должно означать, что нас интересует доля переменных, имеющих значение Ь, а не их число. В этом предельном случае получаем
»-/<"* до-ЙП' - *Г-
N-y оо ^
— ЗЦI-IVv O-ArH1^)'" [р~Е~7Г~) -А н)
Дробь, стоящая в конце, стремится к единице и, поскольку
Hm
N-y оо * " '
мы получаем
/(P) = ^qp- (9-15)
Эта формула известна как распределение Пуассона. Было установлено, что она применима к вероятности а-рас-пада источника радиоактивного излучения (Резерфорд и Гей- ВЕРОЯТНОСТЬ
