Теоретические основы информатики - Аветисян Р.Д.
Скачать (прямая ссылка):
(O0 -/П—ю
Cn = j с(ш)<? dlо (/1 = 0, + 1,±2,...,).
-(O0
(1.16)
Поскольку c'(w) является преобразованием Фурье функции /(/), то согласно (1.5) с учетом ограниченности спектра этой функции имеем
со0
/(Г) = — \ c((u)eiU"d(i), 2к -шп
(1.17)
ИЛИ, приняв T = Т()!2 = я/Ш(),
/
V wO )
1 CO0 jn-О)
= — Jc(w)e t0lWw (и = 0,±1.±2.....). (1.17а)
2 к —ш0
Сопоставив формулы (1.16) и (1.17а), получим:
с_я=2я/
( \ ПК
W0
(и = 0,±1,±2,...,).
(1.18)
Таким образом, значения /(пк/щ) при п =0, ±1, ±2,... полностью определяют коэффициенты разложения в ряд Фурье функции с(ш), которые, в свою очередь, определяют саму эту функцию с помощью формулы (1.3):
C(W) =
к
— X /
W0 Л = -°о
о
-пп
V шо )
Я
]П-Cl)
е при I W| =S W0
(1.19)
при I w| > W0
Подставляя значения c(w) в (1.5), окончательно получим формулу Для f(t):
fit)'
] щ
2w
I
,jmi
S /
О"»О "=-"
-tin
W0
It
/л—(0
e 0)0 d(u.
(1.20)
Пользуясь формулой (1.15), формулу (1.20) мбжно переписать как
fit)= 1 /
пп
VwO ;
sin(w0f-mt)
(1.20а)
20 или, что то же самое,
sinn--п
fit) =
(1,206)
Таким образом, если для заданной функции fit) можно найти конечное значение CO0 такое, чтобы для всех со, удовлетворяющих условию |со| > CO0, имело бы место с(со) = 0, то функцию fit) можно восстановить на основе значений ЦпТ) in = 0, ±1, ±2,...,), если значение T принять равным T = я/со0 = T0/2. Покажем, что восстановимость функции fit) останется в силе, если в качестве шага сканирования взять произвольное другое значение Tt из интервала 0 < Tt < п/щ. Действительно, произвольному фиксированному значению Tt из этого интервала соответствует значение со. = я/Г, > CO0. Поскольку со, > со(1, то для всех со, удовлетворяющих условию |со| > со,, будет иметь место с (со) = 0, т.е. функциюДг) можно восстановить совокупностью значений finTt) in = 0, ±1, ±2,...,), если, конечно, в формулах (1.20а) и (1.206) вместо значений со() и Г0 = 2я/(0() использовать значения COt и Т, = = 2я/со„. В поисках же наибольшего допустимого шага сканирования для заданной функции fit) приходим к следующей формулировке.
Наибольшее допустимое значение Шага сканирования для функций fit) равно
где COmax - круговая частота самой высокой гармонической составляющей в разложении функции fit). Иными словами, COmax - минимальная частота, для которой из условия |со| > COmax следует с(со) = 0.
Фигурирующая в формулах (1.20а) и (1.206) функция ф(г) = sinco()r/r (примерный характер этой функции приведен на рис. 1.1) замечательна тем, что ее прямое преобразование равно (см. выражение для разрывного множителя Дирихле [12]):
T
1 г
я
(1.21)
шах
СО
max
7 SinCO0/
c(CO) = -— е ' dt =
t
Я при I (0| < CO0 J при|со| = CO0, О при I со| > CO0
(1.22)
т.е. частотный спектр строго ограничен.
21
ГЛАВА 1 ft)
Рис. I.I. Примерный характер функции <p(t)
і Slll(0ot
Для более детального изучения того, что же происходит, когда нарушается условие T =S JC/(Omax, определим частотный спектр функции
/Г(0 = /(0М'), (1-23)
где
M')= ЪЬО-пТ).
(1.24)
Уравнение (1.23) можно рассматривать как выражение для амплитудной модуляции с несущей в виде последовательности единичных импульсов и модулирующей функции в виде функции /(/).
Функция 8j{t) представляет собой бесконечную последовательность единичных импульсов (площадь каждого из них равна единице), равноотстоящих во времени, начинающихся при минус бесконечности и продолжающихся до плюс бесконечности. Если же /(/) тождественно равна нулю в области / < 0, то наличие или отсутствие в этой области единичных импульсов перестает иметь значение и поэтому в (1.23) функцию S1(I) можно принять равной
M') =
16(/- пТ).
H = О
(1.24а)
Полагая, что функции /(/) и S7O) тождественно равны нулю в области г < 0, можно говорить об их лапласовых изображениях. Пользуясь теоремой запаздывания (1.13) и формулой для вычисления суммы' бесконечно убывающей геометрической прогрессии, определим лап-ласово изображение для функции (1.24а) при \е~рТ\ < 1:
L
/1=0
пТ)
¦ X*
п = О
-прТ _
1-е
-рТ
(1.246)
Пользуясь теоремой умножения в действительной области (1.12) и
22 Рис. 1.2. Амплитудно-частотная характеристика функции f(t) до и после ее сканирования
а) Амплитудно-частотная характеристика функции f(t);
б) Амплитудно-частотная характеристика функции fj(t)
приняв, что ЦД/)] = F(p), с учетом (1.23) и (1.246) получим
L[frU)} = ^jaT F(S) jds. (1.236)
/.TlJ и- J к І—Є
Пользуясь интегральной формулой Коши и подобрав соответствующий контур интегрирования, из (1.236) можно получить (см., например, [8]) формулу
4/7-(0] = tnp + jkmr), (1.23В)
где CO7- = 2л/7" - круговая частота сканирования или частота следования единичных импульсов. Положив в (1.23в) р = jю, получим выражение для прямого преобразования Фурье от функции /К/):
C(CD) = ^ YE(j(u + jk0ir). (1.25)
2л Jt=-OG
