Теоретические основы информатики - Аветисян Р.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Здесь же указываются пути преодоления сложностей, связанных со сходимостью интеграла (1.6). Проследим за ходом мысли Густафа Дёча при переходе от интегральных преобразований Фурье к интегральным преобразованиям Лапласа [7].
Выше мы молча предполагали, что аргумент функции/(/) изменяется в интервале - °о < / < °о, тогда как в подавляющем большинстве практически важных задач вполне можно обойтись рассмотрением лишь интервала О =S t < т.е. принять, что в интервале / < О имеет место /(/) = 0. Тогда вместо (1.5) и (1.6) будем иметь
1 7 ,„ f/(') при / > О
— [с(<и)Л<и = Г 1 , (1.5а)
2л J00 [0 при / < О
где
с(ш) = °\f{t)e~i<a,dt. (1.6а)
о
Поскольку в точках /(1 разрыва функции /(/) значение интеграла (1.5а) равно среднему значению этой функции в точках левее (/0 - 0) и правее (/о + 0) точки разрыва, то значение этого интеграла в точке t = 0 оказывается равным/(0+)/2. Далее наряду с функцией/(/) будем рассматривать функцию
Ф(0 = е~°7(0 (а>0).
Для этой функции из формул (1.5а) и (1.6а) будем иметь J_
2к-
1 7 / ч Wj \e~wf(t) при / > О -Jca(Oi)ejwAa= , (1.56)
2л-о» [о при / < О
где
Ca(O))= \f(,)e-{a+iw"d,. (1.66)
о
17
ГЛАВА 1 В силу наличия множителя в подынтегральном выражении (1.66) этот интеграл сходится для значительно более широкого класса функций//), чем это имело место в интеграле (1.6а). Формулу (1.56) можно переписать как
f К,-*»«*-J'"' <1.5„
2л-о» [0 при/<0
Рассматривая далее пару формул (1.5в) и (1.66), обнаруживаем, что имеем дело с комплексной переменной /; = а + /СО, причем, поскольку в обеих этих формулах значение а остается неизменным, имеет место dp = jd(a. Исходя из этого, формулы (1.5в) и (1.66) можно переписать как
1 aV~ , 17(0 при / > О
-I7 Ц/(г)Н'ф = Г' 1 (1.7)
2лу а-/~ [0 при/<0
где
L[f(t)\ = ca{<u) = ]f(t)e-P'Jt. (1.8)
о
Формула (1.8),которая заданной функции/0 (оригиналу) ставит в соответствие функцию L\f(t)] от комплексного аргумента р, называется прямым преобразованием Лапласа. Функцию L[f(t)] называют лапла-совым изображением оригинала, т.е. функции f(t). Формула (1.7) называется формулой обращения или обратным преобразованием Лапласа. Эта формула позволяет восстановить функцию /(/) на основе ее изображения L\j{t) ].
На основе формул прямого и обратного преобразований Лапласа строится чрезвычайно важный раздел математики операционного исчисления, где устанавливается ряд соответствий между оригиналами и их лапласовыми изображениями, используемых при решении различных задач теоретического и прикладного характера.
Формулы интегральных преобразований Фурье и Лапласа, имеющие ключевое значение для современной теории связи и управления, нами будут использованы при доказательстве теоремы отсчетов.
Рассмотрим так называемую единичную функцию 1(/) (единичный скачок), равную нулю при / < О и единице при 1 > 0. Пользуясь формулой (1.8), можно показать, что
L[1(M] = -. (1-9)
P
Нас будет интересовать также функция единичный импульс 5(/), которая формально определена как производная от единичной функции 1(/). Соответственно она равна нулю при / ^ О и стремится к бес-
18 конечности при 1 = 0. При этом считается, что
/5(0^ = 1. П.10)
Пользуясь (1.8), можно показать, что
L[5(f )| = 1. (1.11)
Мы будем пользоваться также двумя теоремами - теоремой умножения (свертки) в действительной области и теоремой запаздывания в действительной области. Обе эти теоремы доказываются на основе исходных формул (1.7) и (1.8) прямого и обратного преобразований Лапласа.
Теорема умножения в действительной области гласит, что если L[f\(t)\ - L1Q)) и L\j\(t)I = L2(p), то имеет место
j a+ j™
L\f\{t)f2(t)] = — j Li(S)Ly(P-S)IiS. (1.12)
2л/ и_;оо
Теорема запаздывания в действительной области гласит, что если Щ'(1)\ = L(J)), то
L[.f(t — т)] = е~,п L(p). (1.13)
Нам понадобится также формула Эйлера
е1' =COSf + j sin/, (1-14)
в справедливости которой легко убедиться путем разложения этих функций в соответствующие ряды Тейлора. Из (1.14) легко получить, в частности, формулу
sinf = —(е"-е-"1 (1.15)
2 J
которая также будет использована нами в ходе доказательства теоремы отсчетов [12].
Теорема отсчетов
Пусть функция/(f) имеет ограниченный спектр частот, т.е. для этой функции можно найти такое конечное значение круговой частоты W0 = = 2л/7"(„ чтобы для всех со, удовлетворяющих условию |со| > С0(), имело бы место с(со) = 0 (см. формулу (1.6)). Тогда можно утверждать, что для произвольного T > 0, удовлетворяющего условию T =S TJ2. функцию/(f) можно полностью восстановить [13] на основе совокупности ее значений в дискретных равноотстоящих точках /(//Г) (/? = = 0, ±1, ±2,...,).
19
ГЛАВА 1 Действительно, так как вне интервала |ш| =S ш() функция с (ш) тождественно равна нулю, то мы можем осуществить ее периодическое продолжение по всей числовой оси < ы < оо, т.е. рассматривать с(ш) как периодическую функцию от ш с периодом 2сО(>. Разложив эту функцию в ряд Фурье, с помощью формулы (1.4) определим коэффициенты этого разложения:
