Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
г) Предостережем читателя от одной ошибки: точные решения уравнения —H2/2mV2xр = = в области сложной формы, где МТ-потенциал равен'нулю, не обязаны быть линейными комбинациями плоских волн еік'т с энергиями % = h2k2/2m.
2) Функция 1|) может иметь излом в точках разрыва производной ViJj.
3) Простое доказательство (и более подробная формулировка вариационного принципа) дано в приложении Ж. :206
Глава 12
Фиг. 11.8. Три рассчитанные зонные структуры для титана.
Структуры а и б получены по методу ячеек для двух возможных потенциалов. Они взяты из статьи Алтмана [12]. Структура в — расчет Матейсса по методу ППВ.
муму функционала (11.17) на классе дифференцируемых функций (г), которые удовлетворяют условию Блоха с волновым вектором к. Значение E [гр^] есть энергия Ь (к) уровня 1]?.
Вариационный принцип используют, чтобы с помощью разложения по ППВ (11.16) рассчитать E [г|)к]. При этом мы получаем приближенное выражение для Ш (к) = E [ipkb зависящее от коэффициентов ск- Требование стационарности E [i|)k] приводит к условиям дЕ/дск = 0, дающим систему однородных уравнений для ск- Коэффициенты этой системы зависят от искомой энергии % (к) как из-за зависимости от §(к), содержащейся в ППВ, так и из-за того, что значение E [г|зк] в стационарной точке есть % (к). Приравнивая нулю детерминант, составленный из коэффициентов ск, получаем уравнение, корни которого определяют Ж- (к).
Как и в методе ячеек, часто удобнее работать с набором ППВ, отвечающих определенной энергии, и искать значения к, для которых детерминант обращается в нуль, получая в результате карту поверхностей постоянных энергий в ft-пространстве. Учитывая возможности современной вычислительной техники, в разложении, по-видимому, можно сохранить такое большое число ППВ, которого будет достаточно для достижения прекрасной сходимости *);
M Иногда для достижения разумной сходимости достаточно очень малого числа ППВ; это происходит во многом по тем же причинам, что и в методах ортогонализованных плоских волн и псевдопотенциала, которые мы рассматриваем ниже. Другие методы расчета зонной структуры
207
ввиду этого метод ППВ представляет собой одну из наиболее удачных схем расчета зонной структуры *).
На фиг. 11.7 показаны части энергетических зон ряда элементов, рассчитанные Матейссом с использованием метода ППВ. Один из интересных результатов анализа состоит в том, что зоны цинка, имеющего заполненную атомную. rf-оболочку, в значительной степени напоминают зоны свободных электронов. Сравнение кривых Матейсса для титана с расчетами Алтмана по методу ячеек (фиг. 11.8) должно, однако, внушить здоровое чувство осторожности: хотя они обнаруживают значительное сходство, отличия все же оказываются довольно сильными. Вероятно, они в большей мере связаны с различиями в выборе потенциала, чем с пригодностью методов расчета; тем не менее это показывает, что. при применении методов расчета зонной структуры, основанных на «первых принципах», следует проявлять осмотрительность.
МЕТОД ГРИНОВСКИХ ФУНКЦИЙ КОРРИНГИ, КОНА И РОСТОКЕРА (KKP)
Альтернативный подход к МТ-потенциалу дает метод Корринги, Кона и Ростокера [9, 10]. Исходной точкой здесь служит интегральная форма уравнения Шредингера 2):
Ыг)= j dr'G%(k) (t-t')U (т')^к(т'), (11.18)
где интегрирование ведется по всему пространству и
еіК\т-т' I
G% (г-г')=- ,
(11.19)
K = Y 2ml /К*, Ъ > 0,
= 1^2771(-?)/?2, g< 0.
Подставляя выражение (11.14) для МТ-потенциала в (11.18) и производя замену переменных г" = г' — R в каждом слагаемом получающейся суммы, можно переписать (11.18) в виде
^k(r) = 2 j dr"%(k)(r-r"-R)F(r")^k(r" + R). (11.20)
r
Условие Блоха дает i|)k (r" + R) = eik-Ri|)k(r"); следовательно, заменив г" на г', уравнение (11.20) можно записать таким образом:
^к(г)=] <g(k) (г г') V (r') i|)k (г'), (11.21)
Имеется даже специальный учебник Лукса [8], в котором можно найти все детали этого метода и набор стандартных программ для ЭВМ.
2) Из уравнения (11.18) исходят также в элементарной теории рассеяния. Его эквивалентность обычному уравнению Шредингера (11.1) следует из того, что функция G удовлетворяет уравнению (% + Ti2V2Hm) G (г — г ) = б (г — г') (см. гл. 17, задача 3). Элементарное рассмотрение этих вопросов можно найти, например, в учебнике Саксона [11]. В теории рассеяния в (11.18) обычно включают также неоднородный член егк г, где hk = Y2т%\ это делается, чтобы удовлетворить граничному условию для падающей волны. В данном случае, однако, граничным условием является соотношение Блоха, которому (11.18) удовлетворяет в отсутствие неоднородного члена. :208
Глава 12
где
Zk % (г - г') = ^ Grg (г ¦- г'- R) е«-". (11.22)
Приятная особенность уравнения (11.21) заключается в том, что вся зависимость от волнового вектора к и от структуры кристалла содержится в функции ^k,g » а ее можно рассчитать раз и навсегда для разных кристаллических структур при заданных значениях Ш и k '). В задаче 3 показано, что, как следует из уравнения (11.21), на сфере радиусом г0 значения грь должны удовлетворять интегральному уравнению
