Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
ф(г, g) = 2M|mylm(e, Ф)%{ %{г) (11.11)
Im '
при произвольных коэффициентах Aim представляет собой решение уравнения (11.1) с энергией Ш. Однако (11.11) является допустимой волновой функцией для кристалла только в том случае, если она удовлетворяет граничным условиям (11.7) и (11.8). При наложении этих граничных условий делается еще одно важное приближение метода ячеек.
Приступая к решению, оставим в разложении (11.11) столько членов, чтобы было удобно проводить численные расчеты х). Поскольку тогда в разложении оказывается лишь конечное число коэффициентов, для произвольной ячейки граничные условия удается удовлетворить только в конечном числе точек на ее поверхности. Наложение конечного набора граничных условий (число которых равно числу неизвестных коэффициентов) приводит к системе зависящих от к линейных однородных уравнений для Aim; значения Ш, при которых детерминант системы обращается в нуль, представляют собой искомые энергии ?п (к).
Таким образом можно найти собственные значения їїп (к) при каждом значении к. Альтернативный способ заключается в том, чтобы задать ЇЇ, провести одно численное интегрирование уравнения (11.10), а затем искать значения к, при которых детерминант обращается в нуль (если только случайно не окажется, что выбранное значение © лежит в области энергетической щели). Подобные значения к всегда можно найти и построить в результате изоэнерге-тическую поверхность.
Существует много остроумных способов минимизации несогласованности волновых функций на границах ячейки, возникающей из-за того, что граничные условия могут быть наложены только в конечном числе точек. Благодаря изобретательности исследователей и способности ЭВМ производить вычисления с большими детерминантами с помощью метода ячеек удается выполнять очень точные расчеты 2). Получаемые зонные структуры находятся в хорошем согласии с результатами применения других методов, описанных ниже.
Наиболее известным примером применения метода ячеек является выполненный Вигнером и Зейтцем расчет наинизшего энергетического уровня в валентной зоне металлического натрия. Поскольку дно этой зоны расположено в точке k = 0, из граничных условий (11.7) и (11.8) исчезает экспоненциальный множитель. Кроме того, Вигнер и Зейтц сделали еще одно приближение — заменили элементарную ячейку Вигнера — Зейтца сферой радиусом г0 с тем же объемом, получив граничное условие, обладающее сферической симметрией, как и потенциал V (г). Тогда они имели все основания потребовать, чтобы решение гр (г) само имело сферическую симметрию. Это дает возможность оставить в (11.11) лишь член с I = 0, т = 0- В результате граничное условие приобретает простой вид
Xo (го) = 0- (11.12)
Следовательно, сферически-симметричные волновые функции и соответствующие энергии получаются в методе ячеек путем решения одного-единственного уравнения (11.10) при I = 0 с граничным условием (11.12).
1) При этом нас должно несколько успокаивать то обстоятельство, что в итоге разложение будет сходиться, поскольку для достаточно высоких угловых моментов I волновая функция очень мала всюду внутри ячейки.
2) См. в особенности работы Алтмана и др. [6]. :202
Глава 12
Следует заметить, что по своему виду задача совпадает с атомной. Имеется лишь одно различие — атомное граничное условие, согласно которому волновая функция обращается в нуль на бесконечности, заменено здесь «ячеечным» граничным условием, требующим, чтобы радиальная производная волновой функции обращалась в нуль при г = г0. Атомная и «ячеечная» волновые функ-
вых функций 3.S1-уровня в натрии.
--Потенциал метода ячеек
-----Реальный кристаллический потенциал
..............Потенциалы отдельных атомов
------Границы ячеек
Фиг. 11.5. Потенциал в методе ячеек имеет разрыв производной посередине между точками решетки, тогда как реальный потенциал является там гладким.
ции для уровня 3s1 изображены вместе на фиг. 11.4. Заметим, что «ячеечная» волновая функция больше атомной в области между узлами, но почти не отличается от нее внутри иона.
При применении метода ячеек возникают, по-видимому, две основные трудности:
1. Вычислительная трудность, связанная с численным удовлетворением граничного условия на поверхности элементарной ячейки Вигнера — Зейтца, представляющей собой довольно сложный многогранник.
2. Основанные на физических соображениях сомнения в том, может ли потенциал, отвечающий изолированному атому, служить наилучшей аппроксимацией точного потенциала во всей элементарной ячейке Вигнера — Зейтца. В частности, используемый в расчетах по методу ячеек потенциал имеет разрыв производной на границе между двумя ячейками (фиг. 11.5), тогда как в действительности потенциал в этой области вполне гладок. Другие методы расчета зонной структуры
203
Чтобы устранить оба эти возражения, вводят MT-потенциал (muffin-tin potential) 1), который совпадает с потенциалом изолированного иона внутри сфер с определенным радиусом г0, проведенных вокруг каждой точки решетки, и равен нулю (т. е. постоянен) во всей остальной области (при этом г0 выбирают достаточно малым, чтобы сферы не перекрывались) (фиг. 11.6). Использование
