Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
к. Область ионной . <
сердиевины • \ ? Междоузельная г область
Фиг. 11.6. а — МТ-потенциал, изображенный вдоль линии ионов; б — МТ-потенциал постоянен (равен нулю) в области между узлами и соответствует изолированному иону в областях ионной сердцевины.
МТ-потенциала снимает обе проблемы, поскольку он гладок в области между узлами и приводит к условиям согласования на поверхности сферы, а не многогранника.
Формально МТ-потенциал (для всех R) можно определить следующим образом:
U (г) = V (I г — R I) при I г — R I < г о (область ионного остова
или атомная область), (11.13)
= V (г о) = 0 при I г — R I > г о (область между узлами), где г о меньше половины расстояния между ближайшими соседями 2).
1J Термин «muffin-tin potential» в буквальном переводе означает «потенциал в виде формы для выпекания сдобы».— Прим. перев.
2) Часто г0 выбирают равным половине расстояния между ближайшими соседями; тогда получается сфера, вписанная в ячейку Вигнера — Зейтца. В этом случае возникает ряд незначительных технических трудностей, которых мы избегаем, требуя, чтобы значение г0 было меньше такого расстояния. :204
Глава 12
Если договориться, что функция V (г) равна нулю, когда ее аргумент превосходит r0, то U (г) можно записать в простом виде
U (T) = ^1V (\T-R\). (11.14)
r
Для расчета зон с использованием МТ-потенциала широко применяются два метода: метод присоединенных плоских волн (ППВ) и метод Корринги, Кона и Ростокера (ККР).
МЕТОД ПРИСОЕДИНЕННЫХ ПЛОСКИХ ВОЛН (ППВ)
Подход, предложенный Слэтером [7], основан на том, что в области между узлами, где потенциал постоянен, функцию ij)k (г) записывают в виде суперпозиции конечного числа плоских волн, а в атомных областях требуют, чтобы она имела более осциллирующий «атомный» характер. Это достигается путем разложения i|5k g по набору присоединенных плоских волн 1). ППВ ? определяются следующим образом:
1. В области между узлами ^ te = eik-r. Важно отметить, что здесь отсутствует какая-либо связь между І и к (например, типа соотношения (с = = h2k?/2m). ППВ можно определить для любой энергии t и любого волнового вектора к. Поэтому каждая ППВ в отдельности в области между узлами не удовлетворяет записанному для кристалла уравнению Шредингера, содержащему энергию Ш.
2. Функция фь непрерывна на границе между атомными областями и областями междоузлий.
3. В каждой атомной области с центром в точке R решетки функция фJi <g удовлетворяет уравнению Шредингера для атома:
—? v^k, ^ (г)+ F (Ir-^= Ir-RKr0. (11.15)
Поскольку к не входит в это уравнение, зависимость ^tig от к появляется лишь благодаря граничному условию 2 и указанной в п. 1 зависимости от к в области между узлами.
Можно показать, что эти условия однозначно определяют ППВ фJc ^ при всех I и к. Следует отметить, что в области между узлами ППВ удовлетворяет не уравнению (11.15), а уравнению Нф^ <g = (Й2/с2/2т) Заметим также, что в общем случае производная от фJi ^ на границе между атомными и междоузельными областями имеет разрыв, поэтому V2^ji ^ обладает там особенностями типа 6-функции.
Метод ППВ есть попытка аппроксимировать точное решение уравнения Шредингера (11.1) для кристалла линейной комбинацией ППВ с одинаковой энергией. Поскольку для любого вектора К обратной решетки ППВ %
удовлетворяет условию Блоха с волновым вектором к (задача 2), разложение ¦фк (г) имеет вид
¦фк (г) = 11 cK<?k+Kf <g(k) (г), (11.16)
где суммирование ведется по векторам обратной решетки.
Если теперь взять энергию ППВ равной реальной энергии блоховского уровня, то функция ij>k (г) будет удовлетворять уравнению Шредингера для
В тех случаях, когда это необходимо для однозначности, мы дополнительно указываем в индексе энергию уровня. Другие методы расчета зонной структуры 205
ППВ.
Энергии отложены вдоль прямых, соединяющих начальную точку в k-пространстве с точками, указанными на поверхности зоны Бриллюэна. Обратите внимание на поразительное сходство между рассчитанными зонами цинка и зонами свободных электронов (приведенными справа). Цинк имеет два s-электрона над конфигурацией с заполненными оболочками. Горизонтальными штриховыми линиями показана энергия Ферми.
кристалла в атомных областях. Предполагается, что для того, чтобы функция Ipk (г) приближенно описывала точное решение полного уравнения Шредингера в области между узлами и на границе, достаточно включить в разложение не очень большое число ППВ х). На практике используют до ста ППВ; при дальнейшем увеличении их числа Ш (к) существенно не меняется, поэтому можно считать, что достигнута хорошая сходимость.
Поскольку всякая ППВ имеет разрыв производной на границе между атомной и междоузельной областями, лучше использовать не уравнение Шредингера, а эквивалентный ему вариационный принцип.
Для любой заданной дифференцируемой (но не обязательно дважды дифференцируемой) функции ар (г) 2) определим функционал энергии:
( (-?-1 V* (г) |» +CT WUMlOdr
= -F-—. (11.17)
j I Ф (г) I2 dr
Можно показать 3), что решение уравнения Шредингера (11.1), удовлетворяющее условию Блоха с волновым вектором к и энергией Ш (к), отвечает экстре-
