Общая теория относительности и тяготения - Арифов Л.Я.
Скачать (прямая ссылка):
-$- = dIn{l — А (1 Sin2 б)2 - O2Fsin2 0}~1/2-
Н* і P
AB sin3 6 (1 4- (dB sin2 6) 4- (OFsin2O ^ .
1— Л (I 4- «Я sin2 О)2 — «-•У sin20 I-J
Левая часть является, согласно термодинамическому уравнению состояния, полным дифференциалом функции
dp
I
P +Pi
и поскольку первый член справа также полный дифференциал, то второе слагаемое справа может быть только полным дифференциалом некоторой функции гиб, если со (г, 0) ф ccmst. Это возможно в том и только том случае, когда сомножитель при da зависит от © и не зависит явно от г и 0, т. е.
-ABiI + ,В з.п28) + coF-81п,в = *(в), (IIUl3)
1 — А(\ 4- cojB sin2 0) — со2/7 sin2 0 ' х
где Ь (со)—произвольная функция своего аргумента.
Равенство (III.113) устанавливает алгебраическую зависимость между четырьмя функциями координат г и б: о, (1 — А), A? sin2 б и (ЛЯ2 sin2 б 4- F) sin2 б. В случае твердотельного вращения такая зависимость отсутствует.
Уравнения движения, таким образом, сводятся к квадратурам
expff-g-.+ f6(»)<fol--= , const
U ^ + *7 J J к 1 - Л (1 + <o? Sin2 fl)2 — ^F Sin2 в
(III.114а) 261 если (і) (г, 0) Ф const, и
exP (ІУттг) = IZ= ("1-1146)
IJ^^^J Vl-Л(\ +u)5 sin' O)2sitfQ v '
если U) S= const.
Для несжимаемой идеальной жидкости (p,=const), например, уравнения движения полностью интегрируются равенством
const
їх +р= -
V 1-А (I +<*B sin-' ©aysin^e
Определение 16. Гиперповерхность, ha которой давление имеет постоянное значение, называется эквипотенциальной.
Сечение эквипотенциальной гиперповерхности координатной гиперплоскостью x0 = const является, очевидно, замкнутой поверхностью. Эквипотенциальные гиперповерхности образуют, согласно (III. 114), однопараметрическое семейство.
Теорема 62. Граница аксиально вращающегося тела является эквипотенциальной гиперповерхностью, на которой давление равно нулю. Форма границы определяется равенствами
[і - Л (1 + о>? sin2 0)2 - wrFsin2 0] ехр {- 2 Г Ь (ш) da} = const,
(111.115а)
если о)(г, 0) ^const, и
Л(1 + o)S sin2 О)2 + (O2Z7Sin2 О — const (III.1156)
в случае твердотельного вращения.
Между функциями распределения давления и плотности массы вращающегося и невращающегося тел можно установить определенное соответствие.
Теорема 63. Для каждого заданного уравнения состояния вещества аксиально вращающегося тела и заданного распределения угловой скорости со в системе отсчета квадратичной формы (III. 104) существует такая координатная сетка, что функции распределения давления, плотности числа частиц и плотности массы-энергии совпадают с соответствующими функциями невращающегося тела в системе отсчета квадратичной формы (III. 3), а границы тела являются координатными гиперповерхностями r = const.
Доказательство. Предположим, что для заданного уравнения состояния вещества невращающегося тела найдено решение уравнений Эйнштейна (теорема 48). Тогда все функции, описывающие внутреннее состояние тела, в частности, распределение р(г) давления, и функции квадратичной формы (III. 3), в том числе и Х(г), известны. Воспользуемся преобразованием (III. 107), чтобы во внутренней области совместить функцию p(r, O) распределения давления во вращающемся теле с известной функцией р(г). При этом, согласно заданному уравнению состояния вещества, сов-
262* падут также и распределения плотностей массы-энергии и числа частиц. Подставляя [і и р в левые части (III. 114), находим, что во внутренней области выполняется равенство
[1 _ а ( 1 + sin2 Є)2 - O2FSin2Q ] ехр {- 2\b (ш) d*>} = ех (г),
(О ф const,
или
1-А {l + тВ sin2 б)2 — (о2 F sin26 = ех (г\ ш = const.
Из сопоставления с (III. 115) следует, что на границах вращающегося тела теперь r = const.
Одна из искомых функций формы (III. 104) во внутренней области уже не является независимой, а алгебраически выражается через остальные. Ею может быть, например, A(r,Q). Тогда во внутренней области
А (г, 9) = [1 -ехр{Х (г) + 2^(0))^0)) -
— (O2Fsin2S] (1 +0)5Sin2S)"2, (111.116а)
если о) Ф const, и
м й\ I — еХ(г)-ч>2/7 Sin2G . /ттт И^^ч
Л (г, 0) =-(і+шДзіПао)2-. если ^ = Const. (III. 1166)
Для завершения доказательства необходимо убедиться, что произведенное преобразование координат сохраняет на границе тела непрерывность А (г, 8) вместе с ее частными производными первого порядка. Непрерывность же независимых искомых функций (например, BwF) и их первых производных обеспечивается решением уравнений Эйнштейна (I. 17), которым они подчиняются. Пусть на границе тела условия непрерывности Л и ее производных первого порядка не выполняются. Преобразованием координат (III. 107) во внешней области функцию А(г, 0) можно привести к наперед заданной. Если во внешней области A(r,Q) выбрать так, чтобы ее значения и значения ее частной производной первого порядка по г с внешней стороны границы совпадали со значениями, определяемыми функциями (III. 116) на внутренней стороне границы, то условия непрерывности будут удовлетворены. Для твердотельного вращения, например, достаточно во внешней области определить функцию А (г, 0) следующим равенством:
