Общая теория относительности и тяготения - Арифов Л.Я.
Скачать (прямая ссылка):
D
A0 = Ct(L9M)^l-L9 L + 2; 4;
здесь Cj и C3 — постоянные, a F — гипергеометрическая функция Гаусса (Градштейн, Рыжик, 1962). Другое решение, зависящее еще от двух постоянных интегрирования, расходится на бесконеч-
ности как rL+l и в центре (г] = 0) —как \jv\, поэтому не удовлетворяет условиям а) ив).
Если амплитуда A(r; L, М) задана, то уравнение (III. 93) в D2 превращается в линейное неоднородное обыкновенное диффе-
255* ренциальное уравнение второго порядка, общее решение которого
содержит две постоянные C2 и C2 интегрирования и является их непрерывной функцией. Имея в виду эту зависимость A0 от C2 и
C2 в Dlf запишем решение в виде
Du A0 = Aufr; Lt М; C2, C2). (111.98)
Функция A0, определенная теперь во всей области мира (III.13), должна удовлетворять равенствам
[AJ. -Kl = О, (111.99)
[А0]а^= [^L=Oe если 1, (IJI.ICO)
A0(о; L4 М\ C2, C2) =0, если р= If (III.101)
требуемым условиями б) и в) поведения возмущения на границах (внешней и внутренней) тела и мировой линии центра. В случае, когда р>1, равенства (111.99) и (III. 100) представляют собой систему неоднородных алгебраических уравнений, в которых неизвестными являются постоянные Ct, C2, C2 и C3 решения (III. 97 а, б), (111.98) уравнения (111.93). Число уравнений совпадает с числом неизвестных. Если же ?= 1, то область D3 отсутствует, вся область определения функций мира (III. 13) представлена областями Di и D2, а общее решение уравнения (III.93)—функциями (111.97а) и (III.98), зависящими от трех постоянных. В этом случае равенства (III. 99) и (III. 101) составляют систему неоднородных алгебраических уравнений, неизвестными которых являются постоянные Ci, Сч и C2. Как и в первом случае, число уравнений равно числу неизвестных. В обоих случаях, поэтому, все постоянные определяются однозначно, а уравнение (111.93) имеет единственное решение для заданных амплитуд шаровых мод скорости вращения вещества тела.
Теорема 61. Если заданы распределение ф-углового компонента скорости вещества медленно вращающегося тела, или амплитуды всех ее шаровых мод, то 8 — угловой компонент скорости и отклонение метрики мира от сферически-симметричной метрики изолированного тела полностью определяются во всей — внутренней и внешней — области в линейном приближении. Отклонение метрики во внешней области выражается точными формулами (111.97).
Рассмотрим частный случай распределения скорости вещества, удовлетворяющего условию Розена (1947) твердотельности вращения тела
, + , + ("Л; с + 'У,: «) = <П1Л02>
256* Подставляя сюда (III.92) и решая полученные уравнения, находим L = 1, M = О, Л (г; Lj Ni) = ш-/]2, где со — постоянная угловая скорость вращения тела. Так как F (О, 3; 4; х) = 1, то во внешней области
A0=^ в D1 (111.103а)
И
AO = C3^i2 в D3. (III.1036)
Для твердотельного вращения тела формула (III. 103 а) известна (см., например, Зельдович, Новиков, 1967). В действительности же она имеет место не только для твердотельного вращения, но и любого, как это следует из (III.97 а), распределения скорости вещества, ограниченного единственным условием — отсутствием всех мод, кроме L= 1.
§ 40. аксиальное вращение изолированного тела
Вращение тела, даже при наличии только одной оси, в значительной степени усложняет уравнения Эйнштейна, и получение их точных решений наталкивается на большие трудности. К настоящему времени из внешних решений известны только метрики Kep-ра (Кегг, 1963) и Картера (Carter, 1968). Они являются частными решениями и соответствуют источнику специального вида. Их связывают с гравитационным полем вращающейся незаряженной или заряженной черной дыры соответственно (Carter, 1971; Хокинг, Эллис, 1977). Точные же внутренние решения, могущие служить основой сколько-нибудь значимой физической модели вращающегося тела, еще не получены. Поэтому некоторые нетривиальные результаты по поводу внутреннего решения, которые можно установить еще до решения уравнений Эйнштейна на основании только уравнений движения, представляют определенное значение.
Установившийся характер чистого вращения источника с единственной осью означает, что квадратичная форма обладает аксиальной симметрией и не зависит от времени. Поэтому существует система отсчета, в которой могут быть введены координаты х°, г, 8 и ф, отражающие временную и аксиальную симметрию метрики в явном виде. Предполагая именно этот характер координат и системы отсчета, в общем случае как во внутренней, так и во внешней области квадратичную форму можно представить следующим образом:
ds2 = - (dx0)2 +A (dx° + В sin2 Bdy)2+ Ddr2 + ^dB2 + Fsin2 6d<?2.
(III.104)
Неизвестные функции Af Bf Df и F зависят только от г и 0.
Метрика Керра, в частности, также приводится (Boyer, Lind-quist, 1967) к этому виду:
11-14
-257 ds* = - (dx°y + {dx° + a Sin2 Qdtf +
+ rI^lrXa'dr2 + (r2 + a2cos20)d62 + (r2 + ?2)sin26d?*, (IJI .105)
где a — постоянная, имеющая тот же смысл, что и в метрике Шварцшильда (см. § 30), а постоянная а связана с полным моментом вращающегося тела.
