Общая теория относительности и тяготения - Арифов Л.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Отличные от нуля компоненты метрического тензора, соответствующего форме (III. 104), определяются формулами
Soo — — О — А)» ?оз = AZ? sin2 0, gu = D, g*2 = %. ?33 = (ЛЯ2 sin2 9+ /4 Sin2 Є,
g=—H%D sin2 6, = -L (Л^2 sin1 Є + /=-),
(ІІІ.106)
"' = ^0M (III. 107)
Э' = е'(г, 6)J
здесь
Я= sin2© + /=-(1 -Л).
Следует отметить, что симметрия формы (III. 104) допускает ее упрощение. Используя две произвольные функции преобразования координат
Г-.Ґ = Ґ(Г9 0),)
в-* Є'
одну из искомых At В, D, Ъ или F, или какую-либо их комбинацию можно привести к наперед заданной функции, сохраняя при этом ортогональность преобразованных осей г' и 8', т. е. равенство нулю компонента g/12. Дальнейшее упрощение уже невозможно. В общем случае симметрия задачи требует нахождения четырех независимых функций, входящих в форму (III. 104) и зависящих от двух аргументов.
Если ввести обозначения для производных
Yf_дХ у-_дХ
л =Wf А
то отличные от нуля компоненты символов Кристоффеля определяются следующими формулами:
Г°01 = ^L (A2BBf Sin2 6-™'),
Г°02 = 977 [(Я sin 6 + 25 cos 0) А*В sin 0 - ^J.
02 — 2 H 1
0 _ :_
2 H
гг.» —S. r°n = s-m-sin2e + AfiF -,РИД)'],
258* Г°2, = ^ P sin 0 + 2B cos e) A2B2 sin 9 + ABF - F (AB)}, Tj3 = - (AB) , Г^з = - [(AB) sin Є + 2AB cos б],
^oi = 2/7 [(-^я) ~ ^2B ], rj, = ^, = ^302 = 277 [(ЛІ?) + 2(1 —Л)^?ctgo],
Il2 = -I,. = sin2e+^'].
р2 ___D_ р2 _ ^ Г2 — —
U~ 2?' в"~ЯГ' 12 2 ^'
Г33 =--т. sin"6 + ^AB2 sin3 Є cos Є + Fsin2 6 + 2Fsin 9 cos 0],
2&
Г'з = ~ [{A B2 + 2АВВ - Л2ЯЯ) sin2 Є + (1 - А) Ґ],
г2з = 277 K^fi2 + 2АВВ - A2BB) sin2 6 + 2ЛZ?2 sin 0 cos 0 +
+2(1 — Л)(Л?2зіп26 -f /7)ctg8 + (1 — A) /7].
Система отсчета, в которой квадратичная форма для вращающегося тела приводится к (III. 104), характеризуется сложным движением составляющих ее элементов. Их абсолютное ускорение
W0 = Wz = 0, Wx = - ^A- ^2 = - 2(\А-Л) (11,Л08)
всюду ортогонально семейству гиперповерхностей
Л = const.
Тензор вращения (I. 144) элементов системы отсчета отличен от нуля:
*0/ ~ Xi2 ~
1 (AB)' — А*В' ^13 - т _ Л)з/2 Sin2 0,
1 (AB)-A-B . 20 . AB .о о
У9~ = ~тг-Sin2 0 + / Sin 0 COS 0.
Л23 2 л)3 2 |/1—Л і
(ІІІ.109)
Семейство гиперповерхностей, всюду ортогональных направлению вращения элементов системы отсчета, удовлетворяет уравнению
ar
259* Для метрики Керра, в частности, решениями этого уравнения являются семейство
г2 + a cos 6 (a cos 6 — const) = 0, 6 ф ,
и экваториальная гиперповерхность 6 = тс/2.
Пусть внутреннее состояние источника описывается тензором энергии-импульса (1.18 6) идеальной жидкости, давление и плотность энергии которой связаны термодинамическими уравнениями типа (III-I) и (III.2). В координатах формы (111.104) компоненты и1 и и2 4-скорости источника равны нулю, и если ввести обозначение
-fe^-(r.fl).
то
Следовательно,
U2 (DU0.
а<з
и[и\ 0, 0, 0ш0},
U0 = УI - А (1 + (1)5 Sin2 б)2 - (О2/7 Sin2 6
(IILllOa)
Un
иа\и0, 0, 0, Ц3}, 1 — А(\ 4 sin» 6)
Vl — А (1 + u)? Sina 0)2 - ^f Sin2 O AB sin2 6 (I 4- toff sin2 6) + coFsin2 6
V1 — A (1 4- u>B sin' Є)2 — O^F sin2 Є
(111.1106)
Внутреннее состояние источника определяется тремя функциями \i, р и о) двух аргументов г и 0. Две из них независимы — [X (или р) и со. Из всего класса аксиального вращения тел следует выделить твердотельное вращение, когда <a=const. В этом случае и в собственной системе отсчета оба условия, налагаемые на квадратичную форму, а именно, стационарность и аксиальная симметрия, могут быть выражены в явном виде. Действительно, переход ф-*ф+Ci)X° к собственной системе отсчета, в которой уже и W3=O, не изменяет вида квадратичной формы (III. 104). Это обусловлено тем, что относительные расстояния между элементами источника, вращающегося как твердое тело, неизменны. Если же вращение тела, оставаясь аксиальным, не подчиняется твердотельному закону, то в собственной системе отсчета метрика сохраняет аксиальную симметрию в явном виде, но теряет явное выражение свойства стационарности. Метрика в собственной системе отсчета уже зависит от времени. Изменение относительных
260* расстояний между элементами источника при постоянных координатах в собственной системе отсчета принимает на себя метрический тензор.
Формулы (III. 110) сохраняют свой вид для твердотельного вращения и в собственной системе отсчета, если в них формально ПОЛОЖИТЬ (I)=O. Используя их, легко убедиться, что условия (III. 102) Розена для твердотельного вращения удовлетворяются тождественно, независимо от вида функций А, В, и F, входящих в форму (III. 104).
Выясним, какие ограничения накладывают уравнения движения (I. 19) на внутренние функции \х, р и ш вращающегося тела. Два из четырех уравнений движения, соответствующие координатам JC0 и ф, удовлетворяются тождественно. Остальные два приводятся к следующему виду:
= si"29 + <у'9 + ^, (ШЛИ,)
2 1 —А(\ Sin2 0)2-0)2/=- Sin20 V 7
P = -O (Iа + р) —!-L —1-^——-- . (III.1116)
Эти уравнения можно переписать следующим образом:
