Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
Пример. Геодезические линии эллипсоида. Приложим предыдущие результаты к эллипсоиду
хч v2 z2 - + ^- + --1=0. (1)
Мы пишем здесь в знаменателях а, Ь, с, чтобы те же вычисления в зависимости от знаков а, Ь, с давали геодезические линии эллипсоида или гиперболоида.
Уравнения движения могут быть написаны так:
IPx _ Х_ (Ру_ _ 2_ <Pz_ _ Z_
~11 > J^3 — IА L > — IА ¦ (2)
dt* г а ' dt* г b ' dP rC
Как всегда, имеем первый интеграл v = V0. Для нахождения второго используем метод Дарбу. Продифференцировав два раза подряд уравнение (1), получим
х dfix , у (Py z dfiz . , _„ , . , , , - , — і _ 0
a dP 1 b dP 1 с dP или в силу уравнений (2)
^-+І+ІУ-ШЬШЬШІ «>
,, ,„, 1 dx Xdy I dz
Умножим теперь уравнения (2) соответственно на — ——, —,--—
г Jr w а dt ' b dt ' с dt
и сложим. Получим
I X dx у dy z dz\_
^ ИТ + "Р" ИГ + IfiHT) —
_ 1 dx d*x 1 dy dfiy 1 dz d."-z ~h dt dP b dt dP + 7 dt dP ' Если мы разделим почленно уравнение (4) на уравнение (3), то получим X dx dy , z_ dz 1 dx d?x , 1 dy d*у , 1 dz d^z
T А) И4 "Г „2
(4)
a2 dt ' № dt ^ C2 dt a dt dP ' b dt dP ^ с dt dP
LUlil I 4- I (*?.?] '
a2 a2 c2 \_a\ dt j b \ dt j * с \ dt ) \
Каждый из числителей с точностью до постоянного множителя равен производной от знаменателя; следовательно, найденное уравнение можно проинтегрировать и получить
Исключая время при помощи уравнения кинетической энергии = получим
<5>
Таково дифференциальное уравнение геодезических линий эллипсоида. Простая геометрическая интерпретация этого уравнения приведет к теореме, установленной Иоахимсталем: если р — расстояние от центра эллипсоида до касательной плоскости в точке M геодезической линии, D — длина 424 часть третья, динамика точки
полудиаметра, параллельного касательной, проведенной в точке M к геодезической линии, то вдоль всей этой линии произведение pD постоянно. Действительно, так как направляющие косинусы касательной в точке M dx dy dz
равны -jjT, т0 координаты конца параллельного полудиаметра
будут
ds ds ds
Написав, что эта точка принадлежит эллипсоиду, имеем
-L = I I^LY j_ 1(JLY і 1 I^y
Di а \ ds ) b \ ds ) с \ ds ) ' Уравнение касательной плоскости в точке M будет
а 1 b 1 с
расстояние от начала координат до этой плоскости определяется формулой
\ _ X2 У8 >8 P2 ~ а? "Г" ?2 + С2 •
откуда на основании равенства (5) действительно получаем
pD = const.
Эта теорема применима также и к линиям кривизны эллипсоида. Действительно, мы увидим дальше, что эти линии соответствуют особым решениям уравнения (5). (Дарбу, Mecanique de Despeyroux, т. 1.)
Для завершения интеграции нужно выразить координаты Jf1 у, z точки эллипсоида через ее эллиптические координаты qv q2. Тогда переменные qlt q-> разделятся и интегрирование приведется к квадратурам. К этому вопросу мы вернемся вновь при рассмотрении приложения метода интегрирования Якоби (глава XVI).
271. Применение уравнений Лагранжа. Обычно для нахождения геодезических линий предпочтительнее поступать следующим образом, используя уравнения Лагранжа. Пусть
* = Чг). У = Ц(Чі. Яг)- Z = Wiql, Я2)
— выражения координат точки поверхности в функции двух параметров.
Тогда квадрат линейного элемента произвольной кривой, проведенной на поверхности, выразится так
ds2 = dx2 + dy2 + dz2 = ап dq\ + 2а12 dqt dq2 + а22 dq\.
Если для упрощения мы положим массу точки равной 1, то получим
_ 1 ( ds \2 1 , /2 , г, II, /2\
Т = I Ы) = T К?! + 12^1^2 + а22?2 )' ГЛАВА XIII. ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ ПО ПОВЕРХНОСТИ
425
и уравнения движения будут
±(*L\-.*L = q ±(JL\-oT_ =
dt \ dq[ ) дії ' dt \ dq'2 ) dq2
Одно из этих уравнений, более сложное, будет в дальнейшем заменяться интегралом кинетической энергии T = A, или
У К?? + 2fliatftf + 0^tf2) = h-
Мы имеем таким образом два уравнения (из которых одно второго порядка, а другое первого), определяющие qu q2 в функции t.
Пример. Поверхность такова, что при подходящем выборе криволинейных координат, определяющих ее различные точки, можно выражение линейного элемента ds привести к виду
ds2 = и (du2 + dv2).
Требуется найти конечное уравнение геодезических линий. Во что преобразуются эти линии, если сделать карту, на которой каждой точке поверхности с координатами и, v будет соответствовать точка плоскости с прямоугольными координатами, имеющими те же самые значения? (лиценциатская, Париж, 1887).
du dv
Обозначая через и к v производные и и полагая массу точки равной 1, получим
T = \и(и'2 + V'2)
и так как нет непосредственно приложенных сил, то уравнения Лагранжа будут
h'2-Iv'2=0' = С1>
Мы знаем заранее первый интеграл этих уравнений, а именно интеграл кинетической энергии T = h, или
и Г/ du Vi / dv у
2 W dt ) + V dt )
= h. (2)
Второе из уравнений (1) дает другой первый интеграл
• 4-е <3,
C2
Исключая dt из этих двух уравнений и полагая ~ = 2а, получим дифференциальное уравнение геодезических линий
dv = Ya ¦
Yu — a
Отсюда, интегрируя и обозначая через Ь другую постоянную интегрирования, получим
