Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
Учитывая найденные значения TxQx и Q2, получим уравнение движения:
Рис. 163.
¦ тг-
= R, — (тгЧ') = Pr.
Когда сила является центральной, P все время равно нулю, и мы получаем ..
-j (mr20') = 0, гЧ'=С
(закон площадей).
ГЛАВА XIII. ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ ПО ПОВЕРХНОСТИ
415
2°. Найти движение без трения тяжелой точки на плоскости, равномерно вращающейся вокруг горизонтальной оси, лежащей в этой плоскости.
Будем отсчитывать время от того момента, когда вращающаяся плоскость совпадает с плоскостью хОу, которую мы предполагаем горизонтальной, принималось вращения за ось х. Если 6 — угол yOR между движущейся плоскостью и плоскостью ху (рис. 164), то в = сet, где а — угловая скорость вращения. Уравнение вращающейся плоскости ROx будет тогда
у sin U>t — г COS at = 0.
Применяя общие формулы (262), получим уравнения движения;
d2x .
mIfi=0'
d2 у
т -T^i = X sin at,
at2
d2z
m-2 = -mg.
Рис. 164.
- X COS at,
причем нормальная реакция будет в точности равна величине X. Для фиксирования
положения точки M на движущейся плоскости воспользуемся координатами х и г в системе осей Ox, OR, причем х будет играть роль параметра qlt а г — роль параметра Формулы преобразования будут
X — X, у = Г cos at, z = г sin at, и для функции T получим
T = І. т (х'2 + г'2 + аЧ2).
Для действующей силы mg существует силовая функция U= — mg г = — mgr sin at.
Следовательно:
дТ дТ
дх' = тх'. дх ~
дТ дТ
дг' = тг'. дг ~
OU = 0, dU
дх дг ~
— mg sin at.
Уравнения движения будут 3.416 ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ДИНАМИКА ТОЧКИ
Первое из этих уравнений показывает, что проекция q точки m на ось х движется равномерно. Второе уравнение, будучи линейным с постоянными коэффициентами, интегрируется и имеет общий интеграл
г = Aewt + Ве~ы + JL Sin ut.
Для нахождения уравнения проекции траектории на плоскость уг достаточно заменить в этом соотношении u>t углом в. Тогда
Г = Aeb + Ве~ь + Sin 0.
Представляет интерес частный случай, когда начальные условия таковы, что Д и В равны нулю; для этого достаточно, чтобы точка была брошена от оси вращения таким образом, чтобы ее проекция на прямую R имела начальную скорость, равную gj2ш. Тогда уравнение проекции траектории на плоскость уг будет
Это — окружность, касающаяся в точке О оси Oy. Траектория будет винтовой линией.
Для вычисления нормальной реакции возьмем снова одно из уравнений движения:
т —і = X sin u>t. dt1
Заменяя в нем у его значением г cos a>t, имеем
т (^r cos at — 2ti> 4т- sin at — u?r cos <оЛ = X sin at. Xdti dt )
Отсюда, вспоминая уравнение, определяющее г,
d"-r
— = (s?-r — g sin u>t,
получим
X = — mg cos uit — 2mui .
Эта формула, в которой г следует заменить его значением через t, определяет в функции t нормальную реакцию, которая в рассматриваемом случае совпадает с X.
II. Случай неподвижной поверхности
265. Применение теоремы кинетической энергии. Указанный нами общий метод применим всегда. Но если поверхность неподвижна, то возможны упрощения, которые следует указать. В этом случае уравнение поверхности имеет вид
f(x, у, Z ) = 0,
и действительное перемещение, которое совершает точка, будет перпендикулярно к нормальной реакции А/. Если применить теорему ки- ГЛАВА XIII. ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ ПО ПОВЕРХНОСТИ 417
нетической энергии, то работа этой нормальной реакции будет равна нулю, и мы получим уравнение
d = X dx -+Y dy Z dz,
не зависящее от реакции. Этим уравнением можно всегда заменить одно из уравнений Лагранжа. Мы убедимся сейчас, что оно действительно представляет следствие уравнений Лагранжа.
Если поверхность движется, то нормальная реакция не исклю-чится при применении теоремы кинетической энергии, так как действительное перемещение dx, dy, dz точки не будет перпендикулярным к нормальной реакции. В самом деле, в момент t поверхность будет в положении 5 и точка в положении M на поверхности 5; к моменту t-\-dt поверхность будет в S' и точка в M' на поверхности 5'; перемещение MM' не будет перпендикулярно к реакции А/.
Вернемся к случаю неподвижной поверхности. Из уравнения кинетической энергии сразу получаем первый интеграл, если существует силовая функция U (х, у, z) :
Может еще случиться, что Xdx -\-Y dy-\-Z dz не является полным дифференциалом, но становится таковым в силу соотношения f (х, у, z) = 0. Если, например, точка поверхности определяется двумя параметрами ql и q2, то
X = ср (qu q2), у = ф (q,, q2), z = w (qu ^2),
и выражение Xdx Ydy Z dz, если заменить в нем X, Y, Z, Xt у, z их значениями в функции qt и q2, обращается в Q^dq1-\~Q2dq2. Если выражение Qidql-{-Q2dq2 является полным дифференциалом функции U (qlt q2), то интеграл кинетической энергии будет иметь вид
^ = U (Як qa jT h
или
T=U-\-h,
ибо T как раз и есть кинетическая энергия.
Этим последним уравнением можно заменить наиболее сложное из уравнений Лагранжа, и таким путем получатся два уравнения для определения <7, и q2 в функции t.
Пример. Рассмотреть движение точки на поверхности геликоида с направляющей плоскостью, когда точка притягивается или отталкивается осью геликоида^ с силой, пропорциональной расстоянию (рис. 165).
