Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
рый предел, так как при неограничен- v
ном возрастании г подынтегральное выражение стремится к нулю, как и —. Этот предел Ф будет
без на-
1Y;
+-
kdr г
Чтобы узнать, существует ли асимптота, параллельная этому направлению ф, достаточно, как известно, выяснить, будет ли
„ rf0
полярная подкасательная г2-^- иметь предел Рис. 168.
при бесконечном г. Этот предел, если он
существует, равен расстоянию от полюса до асимптоты. В данном случае выражение
dt
= kr
Yl
+
nL
г*
-kl
имеет предел k. Следовательно, кривая имеет асимптоту D, касающуюся окружности радиуса k. Можно доказать, что угол ф больше, чем . По-
лагая для этого — = и, имеем г
da.
Если k = оэ, то ф = —; когда k уменьшается, этот угол увеличивается,
и если предположить, что k становится очень малым, то подынтегральное выражение будет становиться все большим и большим и ф будет неограниченно возрастать. Следовательно, ф имеет какое-то значение, заключенное
между I и оз. Взяв перед интегралом знак —, мы получим вторую ветвь
кривой, симметричную первой относительно оси X. 432
часть третья, динамика точки
Таким же путем можно исследовать геодезические линии поверхностей вращения второго порядка, детальный анализ которых можно найти в Traite des fonctions elliptiques, т. II, глава VI, Альфена. Для произвольных поверхностей вращения получается, что если меридиан имеет бесконечные ветви, то и геодезические линии имеют бесконечные элементы. Если на поверхности имеется самая короткая параллель, то эта параллель будет геодезической линией, и в общем случае будут существовать геодезические линии, асимптотически к ней приближающиеся. Для подробного изучения этих кривых отсылаем к Legons sur Ia theorie des surfaces Дарбу (часть 3).
276. Движение тяжелой точки на поверхности врадцения, ось которой Oz вертикальна. Интегрирование уравнений движения приводится к квадратурам. Прежде всего по теореме кинетической энергии имеем
d (-^r1) = dz'
где V2 = 2gz -f- h, причем ось z направлена вниз. Теорема площадей справедлива, и мы имеем
г2 dB = C dt.
Если уравнение поверхности есть z=w(r), то
п2
—(?/0+0+-(?'.
Исключая из этих трех уравнений время и скорость, получим
г* db з
dr2 (1 + ср'2) + г2 dB2 = [2g ср (г) + h]
C2
Переменные сразу разделяются и 9 выражается через г при помощи квадратуры:
/V
1 + ср'2 Cdr
[2g? (г)+ Hjr2-C2 г
Точно так же интегрирование приводится к квадратурам всякий раз, когда движущаяся точка находится под действием силы, имеющей силовую функцию, зависящую только от г.
Для алгебраической поверхности Кобб указал случаи, при которых задача приводится к эллиптическим функциям (Acta mathematica, т. X).
Интересное аналитическое исследование движения тяжелой точки на поверхности вращения можно найти в статье Отто Штауде (Acta mathematica, т. XI).
Примечание. Тяжелая точка, движущаяся по поверхности вращения, может описывать параллель поверхности лишь в том случае, когда вершина конуса нормалей вдоль этой параллели находится над ней.
В самом деле, уравнение поверхности имеет вид Z = ср (г), или г — ср ІУX2+-у2) = 0. ГЛАВА XIII. ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ ПО ПОВЕРХНОСТИ
433
Обращаясь к общим уравнениям движения на поверхности, имеем:
d'X , * , . . d"-y s у ,, . d^-z г \
т = {r)' m = ~ Xr?'(r). Tti4w=^mg + !.
Для того чтобы траектория была параллелью z = z0, необходимо, чтобы эти уравнения удовлетворялись при условии Z = Z0, X= r0cos в,
у = r0 sin 6. С другой стороны, по теореме площадей г2 = C = r0v0,
где начальная скорость V0 обязательно касается параллели; отсюда
6 = . Поэтому обязательно должно быть
U0 X Vg У
\ = — mg.--т X = g — ср (/-о),--гУ = 8—9'(г0).
rO rO rO rO
Эти два последних уравнения приводятся к следующему:
vI - Ч (го)
О Ь •
г\ г0
Следовательно, ср' (г0) должно быть отрицательным. Если это условие выполнено, то вершина конуса нормалей находится над параллелью. Если точке, находящейся на параллели, сообщить скорость
V0 = V-gr0<?'(r0),
то она будет двигаться по этой параллели.
Этот результат легко проверяется геометрически. Для этого достаточно выразить, что равнодействующая веса и нормальной
mv0
реакции направлена к центру параллели и равна -.
rO
277. Сферический маятник. Сферический маятник состоит из тяжелой точки, движущейся без трения по неподвижной сфере. Примем за начало координат центр сферы и направим ось z вертикально вверх. В цилиндрических координатах уравнение сферы будет
г2 + z'i = ?,
где I — длина маятника.
Точка находится под действием двух сил: силы тяжести и нормальной реакции сферы; следовательно, по теореме кинетической энергии имеем
«2 = 2 gz + h,
так как работа реакции равна нулю. Более того, так как обе силы лежат в одной плоскости с осью Oz, то можно применить закон площадей к проекции движения на плоскость хОу:
г2 db = Cdt.
Эти три уравнения определяют z, г и 0 в функции t. Найдем сначала z. Для этого нужно исключить г и 0. Уравнение кинетической энергии можно переписать так:
