Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
18. Примеры синхронных кривых. Скорость V0 предполагается равной нулю; силой является вес; кривые С являются прямыми, проходящими через начало и лежащими в вертикальной плоскости (кривые S — окружности), (Эйлер).
Сила является весом, а кривые С суть циклоиды в вертикальной плоскости с горизонтальными основаниями и точками возврата в точке О-[Синхронные кривые S ортогональны к циклоидам; это вытекает (п. 256) из того, что циклоиды С являются брахистохронами для рассматриваемого закона сил.] (Эйлер).
Сила является притяжением к точке О, пропорциональным расстоянию, а кривые С суть окружности Jtr2 -J- у2 — 2ay = 0, где а — переменный параметр. (Синхронные кривые S суть прямые, проходящие через начало.) (Лег у, Annales de Ia Faculte des Sciences de Toulouse, т. VI.)
19. Даны в плоскости два семейства кривых (j4) и (С), проходящих через точку О. Можно ли найти такую потенциальную силу F, чтоОы под ее действием материальная точка, выходящая с определенной скоростью из начала О и движущаяся по какой-нибудь из кривых (С), приходила в любую точку M этой кривой за такое же время, за какое она, пришла бы в М, двигаясь вдоль проходящей через M кривой семейства (А).
Кривые (А) можно назвать траекториями, а кривые (С) синодальными линиями-, при этом очевидно, что их роли можно поменять. Задача может быть всегда решена бесчисленным множеством способов. Задача Фуре относится к случаю, когда траектории прямолинейны и синодальные кривые подобны относительно точки О. (Де Сен-Жермен, Bulletin des Sciences Mathe-matiques, 1889.)
уравнение искомых кривых будет тогда
_ Г <р(1) Г*= ft2tp(0) Є J W М, ГЛАВА XII. ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ ПО КРИВОЙ
409
20. Доказать, что между траекториями, синхронными и синодальными кривыми существует следующее соотношение: пусть MA, MB, MC—соответственные касательные, проведенные в сторону движения к тем из этих линий, которые пересекаются в точке М. Тогда
2 AM В = Tt + AMC
и
2 CMB = п + СМА.
(Фуре, Comptes rendus. т. Clll и де Сен-Жермен, Bulletin des Sciences ma-thematiques, 1889.)
21. Доказать, что если синхронные кривые ортогональны к траекториям, то последние совпадают с синодальными кривыми и обращаются в брахистохроны для рассматриваемых сил. (Там же.)
22. Найти движение тяжелой материальной точки по прямой, неизменно связанной с вертикальной осью, вокруг которой она вращается с постоянной угловой скоростью.
23. Найти движение тяжелой материальной точки по вертикальной окружности, неизменно связанной с вертикальной осью, вокруг которой она вращается с постоянной угловой скоростью. Предполагается, что проекция оси на плоскость окружности проходит через ее центр.
24. Показать, что задача о таутохроне для случая, когда существует силовая функция, приводится к интегрированию одного дифференциального уравнения с частными производными второй степени и первого порядка. (К ё н и г с, Comptes rendus, 1 мая 1893.) ГЛАВА XIII
ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ ПО НЕПОДВИЖНОЙ ИЛИ ДВИЖУЩЕЙСЯ ПОВЕРХНОСТИ
I. Общие положения
262. Уравнения движения. Дана поверхность 5, которая может изменять как свое положение, так и свою форму, и пусть
fix, у, 2, t) = О (1)
—уравнение этой поверхности в прямоугольных координатах. В частном случае, когда поверхность неподвижна, это уравнение не будет содержать времени t. Материальная точка M с координатами х, у, 2 скользит без трения по этой поверхности и находится под действием заданных сил, равнодействующая которых F имеет проекции X, Y, Z. Требуется найти движение точки. Со стороны поверхности на точку будет действовать нормальная реакция N, проекции которой будут величинами вида
lFy >¦%¦ W
Точку можно рассматривать как свободную, находящуюся под действием сил F и JV, Уравнения движения будут
md°-x_ df d*y df d*-z г,, df
mJp=Y + XW mW = z^lTz- (2)
Эти уравнения совместно с уравнением (1) поверхности образуют систему четырех уравнений, определяющих X, у, 2 и \ в функции t.
Для нахождения уравнений, определяющих х, у, 2 в функции t, необходимо из уравнений (2) исключить что приведет к двум уравнениям. После того, как движение будет найдено, значение а следовательно, и величина реакции, найдется из любого уравнения системы (2) или из комбинации этих уравнений.
263. Уравнения Лагранжа. Метод Лагранжа, который мы сейчас изложим, сходен с тем, которым мы пользовались для изучения движения точки по кривой (п. 259). Всегда возможно выразить координаты точки поверхности 5 и, в частности, движущейся точки Ni, в функции двух параметров qx и q2:
x=<f(q1,q2,t), у = ф (qlt q2, t), 2 = u>(qv q2, t). (3) глава xiii. движение точки по поверхности
411
Эти выражения таковы, что если из них исключить и q2, то вновь получится уравнение (1) поверхности. Они содержат явно время t, которое входит в уравнение (1). В частном случае, когда поверхность S неподвижна, уравнение (1) не будет содержать времени и можно будет распорядиться так, чтобы выражения (3) для х, у, г также не содержали времени явно.
Чтобы знать движение, достаточно знать, как выражаются через t параметры qi3 q2, определяющие положения движущейся точки. Для нахождения qx и ^2 требуются два уравнения, которые могут быть составлены следующим образом. Умножив уравнения (2) соответственно
