Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
( dr\
вектору; начальная скорость I-^-I этого движения равна нулю, и это движение будет происходить так, как если бы радиус-вектор был неподвижен, а сила была равна F -f- m^, ; если эта воображаемая сила
вначале положительна, то г будет вначале возрастать и нужно брать знак плюс; если она отрицательна, то г будет сначала уменьшаться
и нужно брать знак минус. Допустим, наконец, что Z70-I--— = 0.
rO
В этом случае для наблюдателя, связанного с радиусом-вектором, точка остается неподвижной, так как она движется по радиусу-вектору так, как если бы он был неподвижен, а точка предоставлена самой себе в положении, в котором воображаемая сила равна нулю. Траектория будет окружностью радиуса г0, и в силу закона площадей движение будет равномерным. ГЛАВА XI. ЦЕНТРАЛЬНЫЕ СИЛЫ. ДВИЖЕНИЕ ПЛАНЕТ
331
Посмотрим теперь, какие начальные условия нужно сообщить точке, чтобы осуществить это круговое движение. Необходимо, чтобы начальная скорость была перпендикулярна радиусу-вектору,
т. е. чтобы Tj0= + -^-, откуда C= ± r0v0, и чтобы F0-m^ = О,
откуда, заменяя С его значением, найдем
/
4Vn =
F0r0
Это значение будет вещественным только тогда, когда F0 отрицательно, т. е. когда сила — притягивающая.
Пример. Наиболее важными приложениями предыдущей теории являются случаи, когда сила пропорциональна расстоянию и когда сила обратно пропорциональна квадрату расстояния. Второй случай будет подробно рассмотрен в теории движения планет; займемся здесь первым случаем и рассмотрим сначала точку, притягиваемую точкой О (рис. 145) с силой, пропорциональной расстоянию;
F = — mk4, и5 = — + Л.
Вышеизложенные общие методы позволяют найти уравнение траектории и время. Но проще исходить из уравнений движения
JS
<1"-х
= — k?x.
& у dt*
= -
Рис. 145.
которые будут такими же и в косоугольных координатах. Общие интегралы этих линейных уравнений с постоянными коэффициентами будут
г t
jrO Уо
X = X0 COS kt sin kt, У = Уо COS kt sin kt,
где х0, у0—проекции на оси координат скорости движущейся точки в момент if = 0 (п. 211). Если, в частности, принять за ось Ox начальный радиус вектор, а за ось Oy прямую, параллельную начальной скорости, то получим
X0 = T0, Уд = V0, у0 = х0 = 0,
Vn
X = r0 cos kt, у = ~~ sin kt, откуда для траектории находим уравнение
•> і '
являющееся уравнением эллипса, отнесенного к двум сопряженным диаметрам lIa' и 2Ь', где длины а' = г0 и Ь' = ~. Продолжительность обра-2* ^
щения по эллипсу равна . Так как за начальный момент времени может
быть принят произвольный момент, то мы видим, что скорость точки в произвольном положении равна kb', где У — длина полудиаметра, параллельного скорости, т. е. сопряженного радиусу-вектору. 3.332 ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ДИНАМИКА ТОЧКИ
Если движущаяся точка отталкивается центром О пропорционально расстоянию, F = т№г, то получатся уравнения движения, которые могут быть выведены из предыдущих заменой k коэффициентом k \r—1. Следовательно, выбрав оси, как и выше, получим
gkt Л- g-kt v gkt — g-kt
* = r„-2-. y = f--2-•
Траектория будет гиперболой
ЛГ2 .
с центром в точке О. Скорость в какой-нибудь точке будет по-прежнему равна произведению k на длину полудиаметра, параллельного скорости.
224. Сила вида 2ф(0). Якоби показал, что можно привести задачу к квадратурам в случае, когда центральная сила выражается формулой вида F = r~2cp(8), т. е. когда сила является однородной функцией декартовых координат jc, у с показателем однородности —2, В этом случае из формулы
mall , d2T
г2 \ г d 62 получаем для определения траектории уравнение
_f I 1_ У (6)
db0- ^r г тС- '
которое является линейным с постоянными коэффициентами и. со второй частью. Общий интеграл этого уравнения имеет вид
-І-=.4cos 8 + ?sin 6 + <]>(6).
где А и В — произвольные постоянные, а <]>(0) — частный интеграл уравнения, который всегда может быть найден при помощи квадратур.
з
Пусть, например, F = — тцг~2 (cos 26) 2, где (л — вещественная положительная или отрицательная постоянная. В этом случае дифференциальное уравнение будет
его общий интеграл имеет вид
у = A cos в -f- В sin в — УН5Г2в , или, в декартовых координатах, ГЛАВА XI. ЦЕНТРАЛЬНЫЕ СИЛЫ. ДВИЖЕНИЕ ПЛАНЕТ
333
Это — уравнение конического сечения, касающегося двух прямых OP и OQ (рис. 146). Уравнение прямых имеет вид х2 — у2 = 0. Эти «рямые касаются сечения в точках, гАе они пересекаются с прямой 1 — Ax — .Sy = O, которая изменяется вместе с начальными условиями. Начальное положение движущейся точки лежит обязательно или в углу POQ, или в углу, противоположном ему относительно вершины, так как вне этих углов вырцжение F комплексно. Допустим для определенности, что кривая является эллипсом. Если ц положительно, то траектория состоит из части дуги QMP, так как она должна быть обращена вогнутостью к точке О; когда движущаяся точка приходит в одно из положений P или Q, то сила обращается в бесконечность, и задача теряет смысл. Если (X отрицательно, то движущаяся точка описывает часть дуги QNP.
