Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
2°. Если ср (0) < 1 (случай артиллерийских. снарядов)^ то движущаяся точка будет описывать кривую с бесконечной ветвью, обладающей вертикальной асимптотой; скорость точки стремится к пределу X, равному корню уравнения 1 — ср (v) = 0, которое, очевидно, на основании предположений, сделанных относительно функции ср (if), обладает только одним корнем.
3°. Если cp(O) = I1 то V стремится к нулю и jc стремится к конечному пределу; но для t и у могут представиться различные случаи в зависимости от закона, по которому у (») стремится к нулю, когда к нулю стремится v. Если v~n [1 — ср (»)] остается конечным, то получаются результаты упражнения 8.
Указание, Применяя уравнение (3), стр. 528, получим уравнение
а
Г tw Л
J COS а
V cos Ct = Vq cos а0е °° ,
которое показывает, что v cos а стремится к нулю, когда а стремится
It
к разрешая его относительно Vt получим выражение, принимающее
вид при а == —При помощи обычных методов, обозначая через Vi предел скорости V, выводим условие
fill - 9 (Oi)J = о;. ГЛАВА X. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ. ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ 325"
которое показывает, что V1 равно нулю или корню уравнения 1—у (») = ()• Исследование завершается при помощи формул стр. 528 (Морен).
21. Аналогия между равновесием нити и движением точки. Эта аналогия получается непосредственно из сравнения естественных уравнений равновесия нити (п. 136) с уравнениями движения точки. Таким путем получаются следующие теоремы.
а) Если каждый элемент нити находится в равновесии под действием силы Fds и если натяжение равно Т, то материальная точка массы т, описывающая кривую, образованную нитью, со скоростью v, равной kT в каждой точке (k — постоянная), находится под действием силы Ф, направленной противоположно силе F и равной по величине mk2 FT или mk Fv. Можно, наоборот, перейти от движения точки к равновесию нити. Для этого достаточно
V Ф
положить T = и силу F равной численно и направленной противо-
положно силе Ф.
б) Материальная точка, находящаяся под действием вертикальной силы, направленной вверх и пропорциональной скорости, описывает цепную линию.
в) Нить, у которой каждый элемент ds находится под действием силы,
обратно пропорциональной ее натяжению Fds = ^ ^s , принимает форму
параболы. (Можно также говорить, что эта сила Fds изменяется пропор-
dx \
ционально горизонтальной проекции ds, так как T — = C.)
ds )
г) Если уравнения равновесия нити преобразовать так, как при получении законов площадей (п. 203) и кинетической энергии (п. 205), то получатся теоремы, выражаемые уравнениями
dT + Xdx + Ydy + Z dz = 0,
из которых первое имеет место, когда вдоль всей нити момент силы относительно оси Oz равен нулю (п. 131).
д) Аналогичные теоремы можно вывести и для равновесия нити на поверхности, если сравнивать с движением точки по поверхности. (См. Мёбиус, Statique, часть вторая, глава Vll и Поль Cepp е, Theorie des lignes a double courbure, Mallet-Bachelier, 1860.)
22. Если несколько масс т, т', т", ..., находящихся соответственно
под действием сил F, F', F"..... зависящих только от координат, выходят
из одной и той же точки А с одинаковыми по направлению, но разными по величине скоростями P0, v'0, V0, ... и описывают одну и ту же кривую ABC, то произвольная масса М, находящаяся под действием равнодействующей сил aF, a'F', a"F", ..., где а, а', а", ... —положительные или отрицательные постоянные, и выходящая из точки А со скоростью V0, имеющей то же направление, что и v0, v'0, ..., опишет ту же самую кривую, если только начальная кинетическая энергия массы M определяется формулой
л,г- 2I ' ' '2 і " " "2 і
MV0 = ат»0 + am V0 + am V0 + ...
(Бонне, Примечание ко второму тому «Аналитической механики» Лагранжа.) Эта теорема доказывается при помощи естественных уравнений движения.
23. Если равнодействующая F сил, приложенных к свободной точке, принадлежит неподвижному линейному комплексу, то момент количества движения относительно этого комплекса постоянен. 326
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ДИНАМИКА ТОЧКИ
Ответ. По предположению, существуют постоянные а, Ь, с, р, q, г такие, что
рХ + q Y + rZ + a (yZ — zY) + Ь (zX — xZ) + с (xY — уХ) = 0.
Заменяя X, Y, Z через тх", ту", mzf и интегрируя, получим
рх' +qy' 4- rzf 4-e(yz' — zy')-\-b (zx' — xz') + c(xy' — yx') = const.,
что и выражает подлежащее доказательству свойство.
24. Найти движение наэлектризованной частицы, находящейся под действием неподвижной электрической массы, помещенной в точке О, и единственного неподвижного магнитного полюса, также находящегося в точке О.
Ответ. Точка описывает на круговом конусе с вершиной в точке О траекторию, которая при развертывании конуса переходит в коническое ссчеиие с фокусом в точке О; движение подчинено закону площадей. (См. А п п е л ь, Annaes scientiflcos da Academia Polytechnica do Porto, т. IV, 1909.) ГЛАВА XI
ЦЕНТРАЛЬНЫЕ СИЛЫ. ЭЛЛИПТИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ПЛАНЕТ I. Центральные силы
222. Уравнения движения. Сила называется центральной, если ее направление все время проходит через неподвижную точку. Эта точка называется центром силы. Примем центр силы за начало координат и условимся обозначать через F абсолютное значение силы, взятое со знаком -f- или — в зависимости от того, будет ли сила отталкивающей или притягивающей. Мы видели ранее (п. 203), что в случае действия центральной силы траектория точки является плоской кривой, плоскость которой проходит через центр силы. Эта плоскость определяется начальным положением и начальной скоростью дчижущейся точки. Если начальная скорость направлена по радиусу-вектору, то плоскость эта становится неопределенной, но тогда движение будет прямолинейным и будет происходить по радиусу-вектору. Возьмем плоскость траектории за плоскость лгу. Тогда проекции
