Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
По затронутым здесь вопросам можно указать на статью лорда Рэлея «On the irregular flight ef a tennis-balb (Messenger of mathematics, n0. 73, 1877) и на статью Гринхилла (Messenger of mathematics, т. IX, 1880).
*) Ann ель, Journal de Physique thdorique et appliquee, т. VII, 1917 стр. 5 и 49.
**) Этот и следующий результаты являются прямым следствием теоремы Н. Е. Жуковдкого о подъемной силе. (Прим. перев.) ГЛАВА X. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ. ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ
315"
221. Движение наэлектризованной частицы в наложенных друг на друга электрическом и магнитном полях. Рассмотрим материальную-частицу M массы т, имеющую заряд е и движущуюся в пространстве со скоростью V.
Представим себе сначала неподвижные электрические заряды .на неподвижных телах, создающие электрическое поле, в котором электрическая сила, действующая на электрический заряд +1, помещенный в точке (х, у, г), имеет проекции Р, Q, R, определяемые формулами
Р = —
дУ дх '
Q =
дУ ду '
R = -
дУ дг '
f
где У— потенциал электрического поля. Тогда сила, действующая на массу т,. несущую заряд є, будет иметь проекции єР, e-Q, e-R.
Допустим, что, кроме того, имеется магнитное поле, в котором составляющие вектора напряженности поля H равны Hx, Ну, Hz (направление H считается совпадающим с направлением силы, действующей на положительный полюс магнита). Тогда сила F, с которой это поле действует на движущуюся частицу, определяется следующим
.. dx dy
законом: пусть х, у, г — координаты частицы М; , ,
dz dt
— проекции ее скорости v;c — скорость света; сила F перпендикулярна к плоскости векторов H и V и рав- M H
на -у- sin (H, V). Если заряд є положительный, то Рис. 142. сила F направлена в сторону, откуда кратчайшее совмещение вектора Hcv видно против хода часовой стрелки (рис. 142)р следовательно,
F = -(HXv).
Если оси координат расположены обычным образом, то проекции силы F будут
и две аналогичные формулы получатся круговой перестановкой букв. Следовательно, уравнения движения частицы будут
dfix dts
--"+-(1--S--zD-—М'З-'тг)-
dfl
(1)
Если электрическое и магнитное поля произвольны, то об интегрировании этих уравнений сказать ничего нельзя, за исключением того, что непосредственно следует из теоремы кинетической энергии. Эта теорема дает
d -L- = s(Pdx + Qdy + R dz),
так как работа силы F равна, очевидно, нулю. Следовательно, имеете» 3.316 ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ДИНАМИКА ТОЧКИ
первый интеграл
mi?
-2~ = — ^V(x, у, z)+h,
где V — потенциал электрического поля. В частном случае, если электрическое поле равно нулю, то скорость постоянна:
O2 = <
Тогда можно исключить время, вводя дугу траектории s соотношением
ds = i/0 dt.
Первый частный случай. Электрическое поле равно нулю, магнитное поле создается единственным магнитным полюсом, помещенным в начале О.
При этих условиях сила магнитного поля X, Y, Z имеет силовую функцию вида ?/ = —, где г — расстояние У\г2 + у3 + г-. Тогда уравнения движения, «ели в них положить
Л = ^., Ц=-^, Wo Zk '
будут
^ ds* г3 у ds ds )'
a?y _ J_/ dx_ _ dz \ ^Ss2 ~l*\zds ~x~ds)' d?z _ J__ / dy_ _ dx \ ^ dsi - r3 \x ds У1Г)Щ
(2)
Прежде всего очевидно, что траектория С является геодезической линией конуса с вершиной в точке О и направляющей С. Действительно, так -как скорость постоянна, то сила F направлена по главной нормали к С и, с другой стороны, сила F в точке M перпендикулярна образующей OM и скорости V, т. е. нормальна к рассматриваемому конусу. Но при помощи анализа, принадлежащего Дарбу (примечание VII к т. I «Механики» Депейру), можно показать, что этот конус будет круговым. Из уравнений (2), если сделать над ними преобразования, приводящие к теореме моментов относительно оси Oz, получим
„ аУ ¦ - dz\ * + + * dz _ f^r ds* ds^ J г3 \ ds +У ds+Z ds) л3 ds ~
_z_dr_____tL (?\
— л2 ds г ds — ds V г /' ¦Следовательно, интегрируя, получим
( dy dx\ Z „
и точно так же
I dz dy\ X ,
( dx dz \ у _ ГЛАВА X. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ. ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ
317
где А, В, С—постоянные. Если эти уравнения умножить соответственно на г, X, у и сложить, то получится
О = — г + Ax + By + Cz, (3)
т. е. уравнение конуса, на котором лежит траектория. Это — кон^с вращения вокруг оси, перпендикулярной к плоскости P, имеющей уравнение
Ax + By + Cz = О,
так как уравнение (3) показывает, что конус является геометрическим местом точек, для которых отношение расстояний до точки О к расстояниям до плоскости Р, проходящей через точку О, постоянно.
Итак, траектория является геодезической линией кругового конуса с вершиной в точке О. Этот результат, отмеченный Пуанкаре, объясняет интересное явление затягивания катодных лучей магнитным полюсом, открытое в 1895 г. Биркеляндом (Archives des Sciences physiques et naturelles, т. VI, 1898, стр. 205).
Второй частный случай. Постоянные электрическое и магнитное поля. Интегрирование выполняется легко, когда оба поля постоянны. Возьмем оси так, чтобы ось Oz была параллельна силе X, Y, Z магнитного поля и чтобы плоскость гОх содержала постоянную силу Р, Q, R электрического поля.
