Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
Найти движение материальной точки, притягиваемой не-подвижным центром с силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния.
Центральная сила выражается формулой
р_ ту-Г2 '
По закону кинетической энергии имеем
d-
- = -$drt V2 = ^h
2ц
2 fi - г
Но по теории центральных сил [формула (4)]
1 \2
I а
V2 = Ci
db
г«
Подставляя это значение v* в предыдущее равенство, получим I . 1 N3
db
+Ї-МЇ+*)-
Это — дифференциальное уравнение траектории; его можно представить так:
1
Положим
db
— (1_ Ji-V +^-4- —
— \г &) ^ C*^ С*
1 Cl ^Г Cl2 І 7--? = РУ сг +
А
С2
Тогда уравнение для р будет
ЙУ-1-"-
откуда, интегрируя, найдем
±df
і = ± arc cos р, р = cos (б — а). ГЛАВА XI. ЦЕНТРАЛЬНЫЕ СИЛЫ. ДВИЖЕНИЕ ПЛАНЕТ
337
Уравнение траектории принимает вид
7=ТГ + / -S-+^- cos (9-а),
где корень можно всегда предполагать положительным, так как, если бы он был отрицательным, то, прибавляя и к произвольной постоянной а, мы сделаем его положительным. Получилось уравнение конического сечения, имеющего фокус в полюсе. Действительно, известно, что общее уравнение конических сечений с полюсом в фокусе есть
— = — + — cos(0 —а), г P P
где р — параметр, а е — эксцентриситет. Сравнивая два последних уравнения, найдем
C2
' = T-
что уже было установлено ранее, и
с* + а
и, наконец, подставляя сюда значение р, получим
-V
h&
Это выражение определяет вид конического сечения, который зависит только от знака постоянной h кинетической энергии.
Если h отрицательно, то траектория есть эллипс, так как е < 1. Если h равно нулю или положительно, то траектория — парабола или гипербола. Значение постоянной h кинетической энергии равно
2 2Ii
Оно зависит только от численного значения начальной скорости, но не от ее направления. Следовательно, если при определенных начальных условиях траектория есть эллипс, то она останется эллипсом, если движущуюся точку бросить из того же положения и с той же скоростью, но в любом другом направлении.
Вычисления, которые мы произвели, содержат неявно и случай отталкивания. Для исследования этого случая достаточно во всех формулах считать |х отрицательным. При этом условии постоянная h будет обязательно положительной и всегда будет получаться ветвь гиперболы. Эта ветвь гиперболы обращена своей выпуклостью к началу, так как сила направлена в сторону вогнутости траектории. 3.338
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ДИНАМИКА ТОЧКИ
Займемся случаем эллипса, полагая h < 0, и выразим элементы траектории через начальные значения переменных. Мы нашли
/> — —, е = I/ 14--І-,
откуда
л = 1) = ^(«2 — 1),
или, вводя полуоси эллипса,
" U3 / а-
а
Это последнее соотношение определяет большую ось эллипса, которая зависит только от постоянной уравнения кинетической энергии. После этого малая ось определится формулой
P а ц
Вычислив таким образом большую полуось а, можно легко построить эллипс, зная начальное положение M0 и начальную скорость V0. Для этого нужно взять точку Р, симметричную фокусу относительно касательной V0, соединить точку P с точкой M0 и отложить на прямой PM0 длину PM0O' = 2а; точка О' будет вторым фокусом эллипса.
228. Кометы. Кеплер не изучал движения комет, считая их мимолетными метеорами. Ньютон, заметив, что материальная точка, притягиваемая Солнцем обратно пропорционально квадрату расстояния, может описывать не только эллипс, но и параболу, и ветвь гиперболы с фокусом в Солнце, пришел к мысли, что кометы, так же как и планеты, описывают эллипсы, в фокусе которых находится Солнце. Он только предположил, что в то время как планеты описывают лежащие почти в одной плоскости эллипсы с малыми эксцентриситетами кометы описывают очень вытянутые эллипсы, лежащие в произвольных плоскостях. Они появляются у нас редко потому, что мы их видим только на части траектории, наиболее близкой к Солнцу. Так как большая ось орбиты кометы очень велика, то эта близкая к Солнцу часть орбиты почти такая же, как если бы большая ось была бесконечной, т. е. эллипс был бы параболой с теми же фокусом и вершиной. Ньютон пришел таким образом к мысли, что вблизи Солнца комета должна описывать по закону площадей дугу параболы с фокусом в Солнце. Ему представился случай проверить эти догадки на комете, появившейся в 1680 г. Галлей, современник Ньютона, произвел такую же проверку на двадцати четырех кометах. Все последующие наблюдения также подтвердили взгляды Ньютона. ГЛАВА XI. ЦЕНТРАЛЬНЫЕ СИЛЫ. ДВИЖЕНИЕ ПЛАНЕТ
339
Вообразим комету массы т, описывающую по закону площадей дугу параболы с фокусом в центре Солнца. Эта комета будет находиться под действием силы, направленной к Солнцу, выражение которой, как мы показали выше, имеет вид
F _ тО- 1 р г9- '
где р — параметр дуги параболы. Для другой кометы, с массой т.', мы точно так же получим силу
т'С2 I
Наблюдения показывают, что отношения CiIp и c'V равны между
471?3
собой и имеют общее значение, равное величине —^— лля какой-
нибудь планеты. Следовательно, выражение центральной сильі, действующей на комету, так же, как и для планет, будет
