Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах - Анищенко В.С.
ISBN 5-02-014168-2
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
Приведенные результаты можно, в частности, трактовать как экспериментальное доказательство нетривиального факта возможности ветвления хаотических решений системы нелинейных дифференциальных уравнений при изменении управляющих параметров.
9.3. Влияние диссипаливной нелинейности на бифуркации аггтракторю
В системах малой размерности хаотические автоколебания имеют место. в частности, в моделях с линейными диссннативиыми членами в уравнениях, характеризующими затухание мод. Автоколебания таких систем обусловлены, как правило, параметрическим возбуждением и нелинейной инерционной перекачкой энергии в затухающую моду 122]. Уточнение моделей с целью более правильного описания реальных систем часто требует уіета нелинейных диссипативных снагаемых в правых частях исходных дифференциальных уравнений*). Примером служит система уравнений (7.28), являющаяся обобщением уравнений генератора (7 38) на случай нелинейной крутизны характеристики основного усилителя.
Можно ожидать, что бифуркационные механизмы разрушения странного аттрактора с введением нелинейной диссипации будут в определенном смысле общими.
Проиллюстрируем это на примерах двух наиболее типичных трехмерных систем: классической модели Лоренца (7.8) н обобщенной модели генератора с инерционной нелинейностью (7.28). Модель Лоренца типична для динамических систем с инерционными возбуждениями (179, 180J, в которых режим странного аттрактора возникает жестко. Модель генератора с инерционной нелинейностью - пример типа систем с мягким возбуждением квазигиперболической стоха личности за счет накопления бифуркаций удвоения периода.
Классическая модель Лоренца (7.8), описывающая трехмодовую конвекцию вязкой жидкости, при больших числах Прандтля (а > 1 + Ь) уже не соответствует реальной конвекции, ко остается интересной для физиков (уравнения лазера [201]), механиков и радсофнзнков (инерционный параметрически возбуждаемый нелинейный осциллятор (7.11) (202]), а также, с точки зрения строгой математики, интересна как система с негрубым гиперболическим аттрактором [1, 2, 43, 83]. Оставим в стороне детальное обсуждение вопроса о соответствии математической модели н реальной системы и рассмотрим следующие уравнения:
X = -OiX-у\ у-rx -у-XZ, Z = -bz - (Izi +ху. (9.5)
*) Нелинейности, способствующие дополнительному сжатию фазового потока. 6у.;ем 'iaiubjtb днссніш ирными.
178 В третьем уравнении системы (9.5) добавлен член -dz3, учитывающий в нервом приближении нелинейный характер диссипации, что может быть обусловлено, например, нелинейностью теплопроводности [203]. Дивергенция векторного поля скоростей (9.5) зависит теперь от координат:
Jiv F = -(о + I + b + 3dz2)<0.
(96)
Бифуркации в классической модели (7.8) хорошо изучены [1,2, 43, йЗ|. Для традиционных значений о = 10, b = 8/3 при 1 < г < г, = 13,92 имеется седловая точка в начале координат и два устойчивых фокуса О j и O2. При г = T1 сепаратрисы становятся двоякоасимптотическими к седлу в начале координат, и переход через бифуркационную точку г =T1 сопровождается рождением пары седповых периодических движений. В интервале г, < г < т2 = 24,06 единственным притягивающим множеством системы остаются фокусы O1 и O2. В интервале т2 < г < r3 = 24,74 появляется аттрактор Лоренца, но еще остаются устойчивые фокусы. В этой области значений параметра г в зависимости от начальных условий реализуются три аттрактора, но при г > г3 остается лишь один - аттрактор Лоренца.
Результаты расчета характерных бифуркационных линий на плоскости параметров г и d системы (9.5) для фиксированных а = 10 и b =8/3 представлены на рис. 9.10 [182]. Линия I1 рассчитывалась исходя из условия возвращения сепаратрисы в седло в начале координат. При начальных условиях на сепаратрисе, определяемых из решения линеаризованных вблизи нуля уравнений, система (9.5) интегрировалась с выводом на печать координат хи^в секущей, заданной уравнением і = 0. С достижением параметром бифуркационного значения сепаратриса возвращалась о седло, о чем свидетельствовало апивременное изменение знака у координат ж и ^,вызываемое уходом сепаратрисы в область второго фокуса. Для значений d в интервале О < d < 3-Ю"4 влияния нелинейной диссипации на эту бифуркацию практически не заметно. Объясняется это тем, что координата г при данной бифуркации лишь незначительно превосходит величину г - 1 и слагаемым 3dz2 в(9.6) можно пренебречь.
Влияние становится заметным для d > IO"3. Бифуркационная линия I2, соответствующая режиму "намотки" сепаратрисы на неустойчивый никл, характеризуется, как
Рис. 9.10. Бифуркационная диаграмма на плоскости параметров г и J системы (9.5)
d-ur
12»
17» видно и:» рис. 9.10, сложной нелинейной зависимостью r(d). Расчет проводился методом дихотомии: определялись значения параметров dx к d, (либо л і иг,), лежащие но разные стороны от линии I1. При этом сепаратрисы вели себя принципиально различно: либо стохастически, либо сходились в фокусы. Затем разность Ad (пибо Ar) плавно уменьшалась до малого значения, определяющего точность расчета бифуркационной линии I1.
