Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах - Анищенко В.С.
ISBN 5-02-014168-2
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
*) В -зависимости от и и начальных данных и сечении * '¦» 0.497 ж«ч-гко вошнкае." несколько гичон 3-тактных колебаний. Первое семейство З-пкгнмх циклов рож дастся ири т 1,25 и развивается в странный аттрактор через ушн-сния в критической .очке ш* * !.413 в соответствии с ?аконом Фейгенбаума В интервале 1.4 < т <
1.5 адіюврсМі :іно в разных областях фазового пространства суиксгчуст странный атгра к тор на базо З-тактиых циклов и устойчивый цикл периода Tt (191,198].
175 а .2 ° -4 -J -20 " 2*" -" -1 -40 jM'
-S -6 -4 -г 6 * .* * А * t--"»-. .2 4 - 0 -20 ¦••i-rV»' -40
-8 -б -4 -2 , • ^ . • / -L . 1 I I I • I t -8 - 6 - 4 - 2 С I-Z 4 0 70 ------- -40 —і_і_і_і_і- Z 4 ? tSxfAb
Рис. 9.8. Сечения Пуанкаре (слева) и спектры мощности колебаний (справа) при перемежаемости типа "хаос- хаос"
На рис. 9.8 приведены результаты расчета сечения Пуанкаре системы (7.38) на плоскости у = 0 и соответствующих спектров мощности. Сечения Пуанкаре, изображенные на рис. 9.8а,б, вычислялись для значения параметра т = 2,41 с начальными условиями на аттракторах CA1 и CA3 соответственно. По расположению точек на секущей видно, что существует хіва независимых аттрактора, локализующихся в различных областях фазового пространства системы (7.38) без пересечения. Аттракторы CA1 и CA3 грубые, так как сохраняют свою структуру и статистические свойства при малых изменениях управляющих параметров и воздействии нормального шума интенсивности Z)< IO"2.
С увеличением параметра т аттракторы начинают B3iHM0Z(CftcTb0BaTb. Сепаратрисная поверхность, разделяющая CA1 и CA3 до некоторого порогового значения т?, при достижении порога разрушается, и аттракторы сливаются. Формируется объединенный аттрактор CA0, включающий в себя как CA1, так. и CA3. На рис. 9.8в изображено стохастическое множество в секущей плоскости для значения параметра т = 2.45 > т^, которое включает аттракторы CAx и CA3 с учетом их незначительной эволюции с ростом параметра т. Объединенный аттрактор реализуется независимо от того, принадлежат ли начальные условия областям притяжения CA1 или CA3, свидетельствуя о разрушении сепаратрисной поверхности. По-видимому, при образовании объединенного аттрактора CA0 npoHcxoziHT и объедяненпс областей притяжения CAx и CA3.
Детальные исследования временных реализаций, автокорреляции, спектра мощности и интегральной интенсивности колебаний в режимах CA |. CA3 и CA0 показывают, что при прохождении параметром т критической точки объединения аттракторов тJ система вначале более длительное
176 время проводит непрерывно на CAx- Переключение на CA3 происходит нерегулярно во времени и носит характер "турбулентных" всплесков на фоне относительно более длительных "ламинарных" фаз движения на G41, •»нергия которого заметно меньше энергии CA3. Переключение на аттрактор CA3 можно диагностировать по временной реализации х(т), когда возникает отрицательный всплеск в зависимости х(т), амплитуда которого превышает максимально воэмижные при движении на CAt.
Статистический анализ относительного времени пребывания системы в состояниях "турбулентных" и "ламинарных" фаз в режиме объединенного аттрактора показал, что для малых превышений над порогом зависимость среднего времени пребывания системы на CA \ допускает приближенную оценку в виде соотношения, справедливого для перемежаемости типа "цикл-хаос" [198]:
(г, ) = с(т-/и*)'"1, с = 18.0. «5 = 2.445. (9.4)
Длительность ламинарной фазы колебаний (здесь ей соответствует режим стохастичности, близкий по структуре к CA1) уменьшается с ростом над-критичности с критическим индексом - 1/2, а средняя длительность турбулентных всплесков (движение на CA3) соответственно возрастает. Очевидная аналогия с режимом перемежаемости "цикл - хаос" позволяет назвать описанное явление перемежаемостью типа "хаос - хаос" [198].
С ростом надкритичнисти турбулентные всплески следуют чаще, 'тто приводит к увеличению средней энергии CA0- Заметно растет интенсивность автоколебаний, спектр мощности которых все более выравнивается, эволюционируя одновременно в область более низких частот. Автокорреляционная функция процесса колебаний стремится к S -образной, свидетельствуя о сильном перемешивании.
На рис. 9.9 приведены автокорреляционная функция и усредненный спектр мощносіи объединенною аттрактора CA0, рассчитанные по реализации х(г) для m = 2,55. Трубулентные всплески следуют в среднем через относительно большее время. Это и является причиной эволюции спектра мощности в область более низких частот.
Объединенный аттрактор не разрушается под действием б-коррелирован-ного шума, демонстрируя свойство грубости. Влияние шума при чис-
-ю
-га
/0
Sx .A?
At
Г' и с. 9.9. Автокорреляционная функция (в) и спектр мощности колебаний (б) объединенного аттрактора СМ„ Im = 2.55.g = 0.097)
1 2. Ьл". AfOftUCHKO
177 ленном моделировании процесса стохастическими уравнениями (9.1) приводило к изменению конкретных моментов времен переключения системы с CA і на CA3. однако средине статистические характеристики CA0 практически не изменялись. В зависимости от интенсивности шумового воздействия из CA0 можно было индуцировать более сложную перемежаемость типа "хаос - цим - хаос". Такой процесс автоколебаний случайным образом включает отрезки реализаций, принадлежащие CAi, CA3 и одному или нескольким многотактным циклам.
