Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах - Анищенко В.С.
ISBN 5-02-014168-2
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
В экспериментах явление модуляционной перемежаемости вблизи линий кратности многотактных циклов уверенно регистрировалось для 3-. 4- и 5-тактных циклов. Анализ усеченных реализаций временных процессов с помощью запоминающего осциллографа подтвердил случайный характер появления и длительности ламинарных фаз колебаний, прерывающихся турбулентными всплесками движения на CA.
Наличие складок у поверхности S0 (рис. 7.12). число которых увеличивается с ростом "тактности" периодических колебаний, и бифуркации удвоения периода, вызывающие иерархию ветвления поверхностей Q. отвечающих устойчивым колебаниям удвоенных периодов, приводят к сложным, практически непредсказуемым гистереэистным явлениям, фундаментальной причиной которых является катастрофа сборки.
Ограниченность нашего воображения, пасующего перед возможностью наглядного представления картины бесконечного ветвления бесконечного числа базовых периодических решений, поначалу порождает чувство безысходности и сомнения в возможность проникнуть в тайны динамики даже простейшей в этом смысле системы в R9C двумя параметрами. На что же рассчитывать в случае увеличения размерности фазового пространства и числа управляющих параметров динамической системы? В подобной ситуации в начале века оказался А.Пуанкаре, когда пришел к выводу о невозможности наглядного представления гомоклинической структуры, возникающей при действии возмущения на сепаратрисный контур. От подобных настроений необходимо решительно отказаться, если иметь целью изучение систем со стохастическим поведением, для которых указанные явления типичны.
9.2. Взаимодействие странных аттракторов.
Перемежаемость типа "хаос — хаос"
В диссипативных системах с хаотической динамикой в зависимости от параметров и начальных условий, как правило, реализуется бесконечное число аттракторов, как регулярных, так и странных, отличающихся по своей структуре. Фиксирование управляющих параметров не меняет картины:аттракторов остается бесконечное множество, их области притяжения разделены в фазовом пространстве сепаратрисными поверхностями. То обстоятельство, что наряду со странными аттракторами в фазовом пространстве системы сосуществует множество регулярных периодических режимов, делает проблему теоретического описания динамики диссипативных систем чрезвычайно сложной.
174 Многочисленные результаты экспериментов свидетельствуют, чю области притяжения и существования периодических режимов в фазовом пространстве и но параметрам уменьшаются с увеличением периода. В физических и численных экспериментах это приводит к тому, чти циклы больших периодов за счет флуктуации не регистрируются, аттрактор не включает устойчивых периодических траекторий, т.е. становится как бы гиперболическим. Теоретически это уже не динамическая система, а стохастическая в классическом смысле термина. Подобные динамические системы предложено называть системами с квазиаттракторами (квази-гиперболическими системами). Многочисленные экспериментальные данные свидетельствуют, что именно квазиаттрактсры являются наиболее точным математическим образом хаотических колебаний реальных систем. Недостаточное количество строгих результатов по статистической и эргодической теории квазиаттракторов должно стимулировать экспериментальные исследования.
Типишюе явление в квазигиперболических системах рассмотрено в 9.1 -это модуляционная перемежаемость, необходимыми условиями реализации которой являются близкие по параметрам и в фазовом пространстве сосуществование хотя бы двух устойчивых режимов (регулярного и странного) и флуктуации параметров. Обсудим еще одно типичное для таких систем явление: взаимодействие странных аттрактором, приводящее к перемежаемости нового типа "хаос - хаос" [ 197-200. IS9].
Проведем численный эксперимент с динамической системой (7.38) в сечении ? = 0,097 плоскости параметров, изучая режимы колебаний с изменением параметра т. Основной предельный цикл системы периода 7о в результате накопления бифуркаций удвоения периода эволюционирует к странному аттрактору (обозначим его CA,). мягко рождающемуся з критической точке т* » 239. Этот аттрактор в сеченинх g » 0.2 и 0,3 ужа подробно рассматривался. В закритической облает /я ^ 2.3ч аттрактор С4{ развивается в пашем соответствии с закономерностями, рассмотренными выше-
B бифуркационной точке т * 2,31 из сгушения траектории в ре.;ульта-те бифуркации Ps-I-I жестко рождается пара 3-тактных циклов, седло-вой її устойчивый*). Устойчивый 3-тактный цикл с ростом параметра п; также претерпевает бесконечную последовательность бифуркаций удвоения периода, которая завершается рождением аттрактора CAi в критической точке т\ ¦ 235. С ростом параметра т до значений, меньших некоторого критического (2,44 < 2,45), CAi, как и CAt. демонстрирует типичные закономерности, включая появление узких по параметру окон устойчивости многотактных циклов различных семейств. В интервале значений параметра 2.40 < т < WiJ независимо существую; оба странных аттрактора Cl1 и CA3, зоны притяжения которых в фазовом пространстве разделяет сложная сепаратрисния поверхность.
