Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах - Анищенко В.С.
ISBN 5-02-014168-2
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
43 3.3. Бифуркации периодических решений
Постановка задан. Вопрос об устойчивости и бифуркациях периодических траекторий может быть рассмотрен как непосредственно в отношении дифференциальных уравнений, когда частному решению отвечает предельный цикл, так и путем анализа устойчивости неподвижных точек соответствующего отображения Пуанкаре. Наиболее наглядным и удобным дня численного исследования является метод анализа отображения.
Рассмотрим задачу о типичных локальных бифуркациях периодических движений, которую решим в терминах отображения Пуанкаре. Пусть Г - фазовая траектория в ЛАмерном пространстве, соответствующая периодическому решению автономной системы дифференциальных уравнений (2.1), зависящих от совокупности параметров р. Введем в рассмотрение секущую S. Пусть точка пересечения Г с 5 является неподвижной точкой отображения Пуанкаре (2.31) *).
Устойчивость неподвижной точки У*, как было показано, полностью описывается собственными значениями матрицы линеаризации отображения, т.е. мультипликаторами цикла PiQi), і = 1,2.....N- 1, удовлетворяющими уравнению (238). Цикл Г устойчив (асимптотически устойчив), если при фиксированных значениях параметров все мультипликаторы і Pi I < 1 (IpiI < 1). При изменении параметров системы мультипликаторы меняются по величине и при достижении некоторого критического значения р. я и* один или несколько мультипликаторов могут обратиться по модулю в единицу. Выход на единичную окружность хотя бы одного из мультипликаторов отвечает бифуркационной ситуации, приводящей в итоге к топологической перестройке структуры фазовых траекторий в окрестности цикла Г.
Рассмотрим случаи потери устойчивости циклом, когда при изменении параметра на единичную окружность выходят один или пара комплексно-сопряженных мультипликаторов. Напомним, что один из мультипликаторов матрицы монодромии равен единице: рд = 1. Систему базисных векторов на секущей всегда можно выбрать так, что собственный вектор мультипликатора Ps будет касательным к траектории Г в неподвижной точке отображения Jr. В этом случае устойчивость цикла определяется мультипликаторами отображения, из которых анализируется наибольший по модулю (для комплексно-сопряженных их, естественно, два). Предположим, для упрощения, что меняется одни из параметров системы Iti9 р, который назовем управляющим**) [11,51,12-14].
Седло-узловая бифуркация предельного цикла. При достижении параметром критического значения р » р* наибольший мультипликатор цикла рQi') обращается в +1. Что при этом происходит?
Проиллюстрируем качественно эту ситуацию на примере трехмерного фазового пространства. На рис. 3.6а изображен цикл, пересекающий секу-
*> Для удобства рассматривается случай простого однооборотного предельного цикла с единственной неподвижной точкой на секущей. Однако все результаты останутся справедливыми н в случае л-цикла в отображении.
* *) В общем случае число управляющих параметров определяется коразмерностью бифуркации. Одним параметром можно оіршичнисі, анализируя бифуркации кораз-
мерности 1.
44 Шую S В неподвижной точке X0. Пусть Єї и еа - собственные векторы, лежащие на секущей, третий собственный вектор е3 касатепен к траектории Г в неподвижной точке. Собственному вектору е, отвечает мультипликатор PiOi), а вектору ег - р2(р.). Будем считать, что P1 (р) < I при значениях параметра вблизи критического. Это означает, что через некоторое число оборотов любая возмущенная траектория вблизи цикла Г по направлению «і приблизится к Jt0 на секущей. В направлении е2 в критической точке Pi Oi*) = +1. В зависимости от ориентации малого начального
возмущения V относительно собственного направления е2 возможны два случая, показанные на рис. За б, в. В точке бифуркации либо рождается пара циклов Г' и Г", либо они сливаются и исчезают. Наглядно бифуркация рождения (гибели) пары циклов иллюстрируется модельным одномерным отображением на диаграмме Ламерея.
На рис. 3.7 дан график некоторого одномерного модельного отображения х(* + 1) = Pfx(JIr), м] и его эволюция с изменением управляющего параметра. Кривая 2 отвечает негрубои ситуации в критической точке ц*, когда Fx (л-°, м) = +1. Дня одномерного отображения матрица линеаризации состоит из одного члена Р'х (х°), который и является мультипликатором неподвижной точки. С изменением параметра и касание графика отображения с биссектрисой либо исчезает (рис. 3.7, кривая 1), либо появляются две точки пересечения х' и х". В первом случае в критической точке гибнут, сливаясь, два цикла, во втором - из сгущения фазовых траекторий жестко рождается пара неподвижных точек: устойчивая х' и седловая х".
Если ввести в рассмотрение малый параметр е * їм - р* I, то асимптотическая зависимость р(е) при е -+ 0 описывается в случае бифуркации +1
45 соотношением р(е)« I-се1'2.
(3.12)
Зависимость (3.12) дает асимптотику мультипликатора устойчивого цикла при стремлении параметра ц к критическому значению и*.
Рассмотренная бифуркация предельного цикла в отображении аналогична бифуркации срыва равновесия для стационарных решений и также называется седло-ухтовой бифуркацией периодического решения.
