Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах - Анищенко В.С.
ISBN 5-02-014168-2
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
Грубые устойчивые или седловые периодические решения X0(t) системы (2.2) существуют в некоторой области значений параметров и характеризуются наличием в спектре ЛХП только одного нулевого показателя. Признаком негрубости является выход на единичную окружность дополнительно одного мультипликатора или комплексно-сопряженной пары мультипликаторов предельного цикла. При этом в спектре ЛХП периодического решения появляются дополнительные нулевые показатели, свидетельствующие о бифуркационной ситуации.
2.5. Устойчивость квазипермодических и хаотических решений
С увеличением размерности фазового пространства системы (2.2) до N> 3 становятся возможными решения x°(t) в виде квазипериодических или апериодических (хаотических) автоколебаний. Соответствующая система уравнений в вариациях в этих случаях характеризуется квазипериодической или апериодической матрицей /1(f). Исследование устойчивости таких частных решений в отличие от стационарных и периодических стано-
31 вится более сложным и осуществляется, как правило, с помощью численных методов на ЭВМ.
Пусть частное решение х°(/) есть квазииернодическая функция:
где ifii(t) = u/t, I = 1,2.....р. Функция x°fo) имеет период 2* по каждому из аргументов w-
Для квазипериодическнх функций равенство типа (2.21) не выполняется. Квазипериодические колебания в общем случае не являются периодическими. Если между частотами w, не существует рациональных соотношений, то решение х° (f) называется зргодическим квазипериодическим колебанием.
Устойчивость квазипсриодичсских решений характеризуется спектром ЛХП. Матрица линеаризации А (/) уравнений в вариациях квазипериодическая, и ляпуновские характеристические показатели Xi строго определены лишь в пределе, при г -»<». На практике можно ограничиться конечным временем, зависящим в каждом конкретном случае от скорости сходимости функций Xf (О к пределам X,, и получить значения показателей спектра ЛХП с некоторой заданной точностью. Периодичность решения х°(г) по каждой из функций (/) ведет к тому, что спектр ЛХП квазипериодического колебания содержит р нулевых показателей. Если решение асимптотически устойчиво, то р нулевых показателей спектра ЛХП будут старшими, все оставшиеся - строго отрицательными. Аттрактором системы в фазовом пространстве в этом случае является инвариантное многообразие размерности р, называемое р-мерным тором. Если хотя бы один из показателей спектра ЛХП решения на многомерном торе становится положительным (при наличии р нулевых показателей), то квазипериодическое решение неустойчиво по Ляпунову.
Простейшим примером двухчастотного квазипериодического решения является режим периодической амплитудной модуляции сигнала (режим биений). Подобные режимы колебаний возникают при взаимодействии нелинейных осцилляторов при периодическом воздействии на автоколебательную систему и в других случаях, реализующихся, как минимум, в системах с 15 степенями свободы. В идеальном случае гармонических сигналов решение для режима двухчастотиых биений можно представить как
x(f)s#oO + msinO/)sin(w0f + ф), (230)
где wo - частота основного колебания, О - частота сигнала модуляции, рационально несоизмеримая с сс0. Устойчивому режиму биений с двумя независимыми частотами отвечает аттрактор в виде двумерного эргоди-ческого тора, сигнатура спектра ЛХП которого имеет вид
Если частное решение х°(/) является апериодическим, но ограниченным для любых t •* «*», то оно отвечает режиму хаотических автоколебаний. В спектре ЛХП такого решения появляется не менее одного положи-
*•(»)-**Ьл (О. *!<»>.....Vp(O).
(2.28)
X0Ofi, + 2n)=x°{ifi,).
(239)
32 тельного показателя и существует по крайней мере оцин нулевой *). Реализуется ситуация, принципиально отличная от всех выше рассмотренных случаев. Наличие положительных показателей в спектре ЛХП апериодического решения свидетельствует, по определению, о неустойчивости решения по Ляпунову. В каком же смысле можно говорить об устойчивости хаотического решения? Вопрос нетривиальный, но может иметь вполне определенный ответ.
Апериодическое решение X0(г), отвечающее режиму хаотических автоколебаний, соответствует притягивающему ограниченному предельному множеству траекторий в фазовом пространстве - странному аттрактору. Это множество траекторий характеризуется неустойчивостью по Ляпунову, с одной стороны, но в силу ограниченности решения должно А>ггь устойчивым в смысле Пуассона - с другой. Экспоненциальное разбегание близких фазовых траекторий и ограниченность размеров аттрактора с неизбежностью ведут к тому, что траектория рано или поздно возвращается в сколь угодно малую, но конечную окрестность любого начального состояния в аттракторе.
Налицо логически оправданная цепочка усложняющихся явлений: стационар - фазовая точка неподвижна во времени; предельный цикл - фазовая траектория возвращается в любую точку аттрактора строго через период; квазипериодическое колебание — периода нет, но есть регулярная возвращаемость фазовой траектории в заданную окрестность начального состояния; и, наконец, странный аттрактор - есть возвращаемо сть, которая, однако, нерегулярна во времени и носит характер случайной последовательности. Таким образом, хаотические траектории можно называть устойчивыми, если существует предельное множество - аттрактор с некоторой областью притяжения, внутри которого траектории неустойчивы по Ляпунову, но устойчивы по Пуассону.
