Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах - Анищенко В.С.
ISBN 5-02-014168-2
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
Если угол ф в момент бифуркации оказывается целошеленным кратным 2я, то точки пересечения Xi образуют периодическую последовательность.
48 ir-цикл на L. В гаком случае говорят о явлении резонанса на юре. Траектория, сделав конечное число оборотов по поверхности тора, замыкаемся и представляет собой более сложное, но периодическое движение - резонансный предельный цикл на торе. В математике различают случаи сильных и слабых реэонансов. Порядок резонанса определяется величиной ц, если мультипликаторы записать в форме
Р»,2 * I Pi.J 1ехр(±/' 2*р/<7), Ф = 2*p/q, (3.15)
где p/q - число вращения Пуанкаре. Особенно большое влияние на картину потери устойчивости оказывают сильные реэоиансы: q = 1,2,3 и 4 [52].
Физической интерпретацией описанной бифуркации мягкого рождения двумерного тора служит явление возникновения устойчивой периодической модуляции исходного периодического колебания (биения), когда часто га модуляции Я и частота модулируемого колебания ы0 либо кратны (резонансные биения), либо несоизмеримы (квазипериодические колебания с иррациональным соотношением частот). В последнем случае отсутствия резонансов движение на двумерном горе называют эргоди-ческим. Зависимости от времени для любой из фазовых переменных xt(t) исходной системы уравнений (2.2) в режиме квазипериодических колебаний имеют вид. качественно изображенный на рис. 3.13.
При качественной интерпретации бифуркаций периодического движения всюду предполагалось, что р ¦ р', и анализировалась эволюция возмущенной траектории. При малых отклонениях параметра от критического значения реализуются топологически эквивалентные рассмотренным выше режимы. Однако нужно четко уяснить, что эти режимы наблюдаются только при р ^ р' и зависят от уровня надкрнтичности. Например, инвариантная окружность L в отображении (рис. 3.12) имеет радиус г = у/ё. и т.д. Заканчивая обсуждение бифуркации рождения (гибели) двумерного тора, укажем асимптотическое выражение для зависимости мультипликаторов от параметра вблизи критической точки:
Ip(^)I eI- се. (3.16)
Бифуркация потери симметрии. Рассмотрим бифуркацию предельных циклов, характерную дпя динамических систем с некоторыми свойствами симметрии. Пусть наибольший из мультипликаторов предельного цикла Г в бифуркационной точке обращается в +1: р(р*) « +1. Все другие мультк-
4- В-С. Лнюценко 49 пликаторы лежат внутри единичного круга. С превышением критического значения ц * цикл не исчезает, но становится седловым. Вблизи цикла Г в критической точке рождается два устойчивых цикла (либо с циклом Г сливается пара седловых циклов)*). Эта бифуркация в принципе отлична от седло-узловой бифуркации в системе общего положения. Для пояснения рассмотрим следующий простой пример. Пусть имеется система двух идентичных симметрично связанных нелинейных осцилляторов. Уравнения системы можно записать в форме
х, + G(P-X1)X1 +Xj «7в(х,.хг1 (3 п)
X2 +G(P-X2)X1 +х2*ув(х,.х2).
Здесь Х|, Xj - переменные, совершающие колебания, 0{р. х) - некоторая нелинейная функция, обеспечивающая существование предельного цикла в парциальной системе, р - параметр нелинейности, у - коэффициент связи, в - функция, задающая характер симметричной связи. Уравнения (3.17) инвариантны относительно замены Xt на х2. При некоторых значениях параметров автоколебания в системе (3.17) могут быть синхронными. т.е. удовлетворять требованию
X| =X,. X, =X2, (3.18)
н асинхронными, если одно из условий (3.18) нарушено. Дня синхронного режима можно описать процесс автоколебаний одним уравнением:
X + G(x. р)х + X = ув (х). (3.19)
фазовое пространство системы (3.19) - плоскость не ременных х sI1 И X » Xj . В случае синхронных колебаний предельный цикл исходной системы (3.17), фазовое пространство которой имеет размерность N- 4. расположен в инвариантном пространстве меньшей размерности. Оно представляет собой двумерную поверхность в четырехмерном пространстве. Если синхронный цикл асимптотически устойчив, то мультипликаторы отображения Пуанкаре I р< I < I, /= 1.2.3. С изменениемр или у синхронный цикл Г может потерять устойчивость различными способами. Нас интересует случай, когда неустойчивость цикла сопровождается нарастанием возмущений в направлениях, трансверсальных к инвариантному подпространству. При р - р* один из мультипликаторов цикла Г, собственный вектор которою не лежит в инвариантной плоскости, принимает значение +1.0 ростом р > р* цикл Г в четырехмерном пространстве стал седповым, но в инвариантной поверхности цикл может при этом оставаться устойчивым. В бифуркационной точке р* от синхронного цикла, лежащего в инвариантной плоскости, ответвляется два зеркально-симметричных (по отношению к инвариантной плоскости) цикла Г' и Г", что иллюстрирует рис. 3.14.
Таким образом, если в эксперименте зафиксирована бифуркация предельного цикла, при которой один нз мультипликаторов обратился в +1. но цикл в системе не исчез, а стал седпоьым, это свидетельствует о бифуркации потерн симметрии, когда синхронные колебания стали неустой чн-
