Групповые свойства уравнений упругости и пластичности. Том 2 - Аннин Б.Д.
Скачать (прямая ссылка):
108
заметить, что функции А и В могут быть выражены через энтропию и
абсолютную температуру. Действительно,
as as dp as dp
dt ~ dp St + dp St *
' •
отсюда следует равенство
I ¦' P05pf+ p(c)5pf = (n:V").
Используя уравнение неразрывности, Нолучаем
рВ- p20Sp div и - Ф = о, '
пли эквивалентное ему v •
% -¦Vdiv" - (Р(c)*5р)-1Ф = 0.
Введем обозначения: ' " •
0{р"р)---------Р0§,
тогда _
dpjdt + и - Vp + G div и+НФ - 0.
Постановка задачи. Дана система уравнений
*
+ (ы-У) и - р-1 div П (Vu) + p^Vp = 0,, (2.1)
-^ + div (ри) = 0, (2.2)
^r + ("-V)p + G(p, p)djvH + tf(p, р)Ф = 0. (2:3)
Уравнения движения конкретной сплошной среды получаются из
(2.1)-(2.3) путем специализации тензора вязких напряжений Пи
задания'уравнения состояния. Сформулируем основные предположения, при
которых будут построены определяющие уравнения на компоненты тензора
вязких напряжений П и перечислены возможные уравнения состряния.
1. Тензор П является симметричным.
2. Описываемая среда - простая неполярная и нётеплопро-водная среда с
чисто механическими свойствами. Это означает,
что тензор рязких напряжений П зависит только от тензора Vw.
3. Сплошная среда является двухпараметрической (в терйо-динамическом
смысле).
' 4. Объемные силы или отсутствуют, или потенциальны. Замечание.
Сделанные предположения не носят принци-. пиального характера, а
преследуют лишь одну цель - упростить вычисления.
40В
Для получения определяющих уравнений на компоненты- теи-8ора вязких
напряжений П 'и на функции .? и Я, а как следствие- возможные структуры
тензора П и возможные уравнения состояния, поставим задачу групповой
классификации си-
* *", ~>'
стемы (2.0-(2.3) с произвольными элементами I1(V")I G(p, р). Hip, р).
. 4 '
Введем обозначения:
и? = р, и* = и1, ы* - и*, и1 - ии4 = р,
" 8ив а вгиа Рт ~ Гтп -
дп~дх^' Dn ~ дт + '
т, п, q *= О, 1, 2, 3; i, j, к, I, s, t, & = 1, 2, 3;
ct, р, у = 0, 1, 2, 3, 4;Я = 1,-2, 3. .
Тогда система уравнений (2.0-(2.3) перепишется в виде р°0 + uYi + Gp\ +
ЯФО,
Ре + и*Pi - ("Т1 ~Г г" + (м4)~1Рй = О,
' .-*Ра ¦ :
. Ро + и*р? + = О."
Подействуем на систему, уравнении (2.0 дважды продолженным-
мнфшштезимальным оператором
у у п 8 а 8 га 8 , а д
?'+?"Sg+0"^-
Коэффициенты о?< задаются .формулами
: ian = Vn4a-P%vnim, . ..
Ом = DgDfff^ + rft -XrmtHt + fstnDt) - Р.П" + rft ;
Поэтому результат действия X на систему уравнений (2.0-(2.3) может быть
представлен в следующем виде:'
+
- pS (U0* Mil0) - pW t "* № - rfABO +Yp*.+
+ (Й5)(r)П* "ipf r*f - C?}fT)4p" * T? ^DftT,° " p0}Dk^ ~
+ rb^-irUb, + rLpt)lm-Plj{ptDt + 4^p)v] = 0, (2.5)
°*+4$-*$'w~'i?)**&*&- ¦ -рЩ+4^^~р^~аога~иц°л°Ъ:-
- P%V + G(Dt4* - р]/?{г') + И ^(Л/ч1 - р!лд') +
- др) •.
+ (G-o4" + G*^4) + Ф(Я"оЧ° + Лц4ч4) + nVi - 0. (2.6)
Переходя в уравнении. (2.4) на многообразие р2 = -(и>?^-ед + ЯФ)<
h _ 1 О , 1 gnht ^t . ."
Ро 4 Pfc. ** Pi "Ь "J " I ^*1" ("•*)
U , u dp,
Ро = - (ы{Р? + U4Pi)t
получим после расщепления по *?"" р(r), р* .
. |"~|"(а:0, а^, я*, '*"), , (2.8)
Поскольку диссипативная функция Ф нелинейна, то
Дальнейшее расщепление (2.12) приводит к следующим результатам: '
2*\^д?-и'д?> (2.13)
диг . - ,
• А (4) = 2<д&° + д01° - Щ (f = 1, 2, 3), (2.14)
ди, \и, ] диг
д0г\* + ц(д,т]4 + и4д,-т)4= О. (2.15)
Из уравнений (2.8)-(2.10) следует, что
' SS7("V)-0: Ж?(
тогда из"(2.14) вытекает (/ == 1, 2, 3)
. - 8u \ди/ - ди |_ \ u
-2и}д&°-д0Ъ°, (2.17)
а из (2.9)
a
Sf + "'S? (S') - ^ + "'W " " 2. 3).
' • (2-18)
поэтому
ST'(?)-0' адо-°- (2-19>
Проделав операцию перехода на многообразие (2.7) в уравнениях
(2.5), (2.6) и расщепив их по rlsii rfu rh, pf, pi, получим, в частности,
дПы , dl№\dr]l ' (дПм,, дП^Хдц1
?) - 0, (2.16) )]+"*5?(?)-
+ (2.22) - du . dpj ди
S -
ГУ О
Ч* ~ - и1дЛ° + д? + "Ч- 6* + Л-?*. .(2-23)
и- дих
- 0+ * ("Г- $ + g) -ад-+ A' g - 0. (2.24)
Из уравнения (2.24),следует, чаго (
= 0 {1Фк), ^ = 0, =(2.25)
а из (2.10). /¦
"? '0' • (2.26)
2вЛ* + 2501" J 4 + г4 - °- (2 27)
и • Ли
Продифференцировав (2.22) по и' (s Ф j), имеем
;ДЫШ]-0'.'; ^
поэтому из (2.17), (2.18) следует равенство
du4 \ u4 /
(2.29)
Производя дальнейшее -расщепление по и1, ,"4, с учетом получен-*-
ных равенств'имеем
¦ * "
jp-o. ^° = °, "А?-* дМ\=о, .
wft=-f $д'д01*,
2
. д<? = дг? = д3Г=:1(А *\ А *¦). .
В результате проделанных расщеплений получим систему дифференциальных
уравнений для определения коэффициентов ин- . финитезимальных операторов
и систему, определяющих уравнений на компоненты тензора вязких
напряжений. и функций G, Н, 'которая будет' играть роль ограничений,
накладываемых на "широту" группы, допускаемой в смысле Ли исходной -
системой *2.1)-г(2.3).
Вначале выпишем систему уравнений на коэффициенты ?", ц"; Т)к - и'д}Ък -
ufcd<,?# + det\
адь+ад|-о (*=**),
дуГ - агг - &г=у, х*. х?),
443
М?*'=о, адо-о, а^в'=о, '¦ дА|к = (1/2)6?дДД°, t]*="W).: (2.30)
г ...
.^о{ф + 4-^о10)-°. ^ = 2(?-а0Е°) + Ф(*г
8и* . дх* ди
Решение данной системы уравнений может быть записано в видь равенств:
