Групповые свойства уравнений упругости и пластичности. Том 2 - Аннин Б.Д.
Скачать (прямая ссылка):
(2.19) имеет вид
аХ, + Х2, (2.22)
Инвариантное решение можно построить только на подгруппе a.Xi + Х2.
Решение ищем в виде
Ох = ах + ф(у), оу = ах + ц>(у), x = f(y). (2.23)
Подставляя (2.23) в систему (2.11), "получаем
т = аy + b, av = ax - c,
- (2.24)
Ох - ах - с 2[КЧу) - (ах + 6)1ш.
Постоянные а, Ь, с определяются из граничных условий у == Л, т = mK(h), 0
< т < 1,
. у - -h, т = пКШ, 0 п < 1.
Решение (2.24) описывает пластическое течение неоднородного материала
между жесткими шероховатыми плитами. Это решение найдено А. И. Кузнецовым
137].
4°. Если неоднородность имеет вид К = сут, оптимальная система для
алгебры Ли (2.20), получается из (2.22) добавлением подалгебр
Х" <Х" Х#>, <Х" Х,>.
.Инвариантное решение можно построить только на подалгебре Xs. Оно имеет
вид
. J - ч )
ox = ymf(x/y), Оу = ymq>(x/yj, х - улф(а:/у). (2.25)
Подставляя (2.25) в систему (2.11), получаем систему обыкновенных
дифференциальных уравнений
/' + if - lif' = 0, ф - |ф' + if' = 0, (/ - ф)1 + 4if2 = 4с1,
где штрих означает производную по | = х/у.
Ш
5°. Неоднородность имеет вид К = сеу.
Неоднородность К = се~т (р> 0) часто используется длй металлов,
облученных радиационным потоком. В этом случае алгебра Ли порождается
операторами v a Y a a v а , / а , а , а \
Xl - ~ дГх + 4 ==~ду ^(СТ*^ + + °y^)-
Оптимальная система имеет вид
Xt + aX2, X, + aXk, Х2, Xt, <Х" Х2>, <Хи Х4>, <Х2, Х>>.
Новое инвариантное решение может быть построено только на подгруппе Xt.
Решение на этой подгруппе ищем в виде
о* .== <p(a:)e~w> о" = if(ar)e~w/, т == f(.x)e~yv. (2.26)
Подставляя соотношение (2.26) в (2.21), имеем .
Ф' - р/ = 0, f - рф = 0, (ф - ф)2 + 4/2 = 4с*. (2.27)
Заменой ф = р_2ф", / == p~4p' система (2.27) сводится к нелинейному
уравнению
(ф - (1/р2)ф" )2 + 4(Ф'/р)2 = 4с2. (2.28)
Одно из решений уравнения (2.28) имеет вид ф = с sin (р.г)} тогда
о* = с sin (\ix)e~m, ау = -ох, т = с cos (цх)е~'1у.
Эте решение можно интерпретировать как напряженное состояние
полупространства у > 0 под действием периодической системы штампов.
Глава 7
ГРУППОВЫЕ СВОЙСТВА
ЧИСТО МЕХАНИЧЕСКОГО КОНТИНУУМА
§ 1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
. Будем использовать феноменологический подход. Считаем, что выполняются
законы сохранения массы, импульса, момента импульса и энергии. Введем
обозначения: р - плотность
рассматриваемой среды; и = (и,, ц2, Из) - вектор скорости, Т -
тензор напряжений; V - внутренняя энергия; q - вектор потока тепла, тогда
+ div (ри) = 0,
104
- div T = 0,'
(1-1)
(рЩ + div [puU + (u* Г)] + div q = 0.
Эти уравнения можно использовать для описания сплошных сред самой разной
природы. Однако наличие одних только законов сохранения не позволяет
адекватно описать возможные движения конкретной сплошной среды. Чтобы
.это стадо возможным, необходимо вв?ст_тад называемые определяющие
коотнощевдя.
Есть нечто общее, характерное для всех сплошных сред - это законы
сохранения. Разнообразие же тел, обусловленное различием материалов, из
которых они состоят, регулируется определяющими соотношениями. К выводу
последних мы вскоре приступим. В механике сплойшых сред определяющее
уравнения - это не что иное, как некоторые ограничения* накладываемые на
силы и (или) движения. Ясно, что единственные силы, представляющие
интерес - это контактные силы, которые определяются заданием поля тензора
напряжений Т. Тем самым возникает задача классификации -полей Т. Каковы
же подходы к решению этой задачи? Йдеи, заимствованные из геометрии,
позволяют надеяться на нахождение решения, исходя из соображений
симметрии и инвариантности. Заметим, что именно из этих соображений были
получены классификационные результаты в теории кристаллических тел
(Шубников; Лохин и Седов, см. [431).
В 1958 г. Ноллом были сформулированы аксиомы, которые затем составили
основу дисциплины, названной Трусделлом рациональной механикой.
Наибольшие ограничения возникают при применении третьей аксиомы Нолла -
"Принципа материальной независимости". Как правило, аксиома Нолла
используется следующим образом. Пусть задана ортогональная группа или ее
собственная подгруппа, тогда из требования инвариантности рассматриваемых
процессов относительно них находятся определяющие соотношения.
В отличие от общего подхода, при котором рассматривается определяющие
соотношения на внутреннюю энергию, энтропию, напряжения и поток тепла
[31,63,85,871, будем изучать поведение материалов, термодинамическое
уравнение которых связывает давление, плотность и температуру, а
реологическое уравнение состояния (определяющее соотношение) связывает
внутренние напряжения с кинематическими переменными, типа градиента
скорости; поток тепла с распределением температуры и градиентом . ее;
внутреннюю энергию с другими термодинамическими переменными.
Систему уравнений, которую приходится решать в общем случае, можно
описать так:
- термодинамическое уравнение, связывающее S, р, р;
- баланс массы;
- баланс импульса;
105
- реологическое (определяющее уравнение);
