Групповые свойства уравнений упругости и пластичности. Том 2 - Аннин Б.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Смысл введенных координат очевиден: ц* - интенсивность тен--зора вязких
напряжений в линейном случае; tj*- дивергенция
вектора скорости; rjs - единственная отличная от нуля .компонен-
,
та вектора rot и, ф - угол между первым главным направлением тензора П (в
линейном случае) и осью Ох'.
Пусть е = 0. Тогда ¦ "'
П = hI + FQ,
где .
г_/'10\ ё\ n-l C°S<P' 8Ш(р,1
g, //'^"^-вшф, созф/
G<= Gipe*?), Н^Жре**)^
h) f, g, h - однородные функции переменных Т)1, нулевой степени
однородности;
X* = Z2 + S, X* = Zlt Xl = X";
*г) /, g, h - произвольные функции переменных rj4; •
Xl + S,Xt = Zla;
it) f, g, h - функций переменных rf exp (-ф/2а);
Хг = Z2. + S, X2 = Zx -)- ctX12;
i4) если а'=0, то Пм - однородные функции по тД степени •однородности
нуль, зависимость от ф произвольная;
Xt = Z2 + S, Xl = Zj
? = G(p), #<=#(р),
ix) Xl = 5, Xl = Zx, Xl " X12; ' ' '
ia) ^r = 51Z* = X12;
422
,) X* = 5, X* = Zj + аХи;'.
G=G(p), H<=*H(p),
*l) Xj = Zj, Xj = Zj, Xg = XjjJ
*2) Xj^= Z2, X2 = X12;
*3) Xi = Z2, X2 = Zj -f- aX12; i4) X* = Z2, X2 = Zx; 4 G-'1,Я-Я*
, ij) Xt = S, X* = Z2, X* = Zj, Xt "= X
Q X* = 5, X2 =.Z2, Xg = X
12"
12i
*3) ^1 s= !^'> -^2 -Х2,.-Хз - Zj + a^12"
H) Xt = S, X*=Z2, Xg = Zj.
Пусть еФО. Тогда '
G^pG(pi-2mp~i), н^тр'-^р-1). :
П = e^'4hI+FQl,
11) /, g, h - функций переменных т^ ехр (-aq>/2p)j _
Xj = Z3 •+ ccZj + РХ12 + niZ2;
12) если p = 0, то Пы - однородные функции по переменным т]1 степени
однородности -1/а, зависимость от <р произвольная;
X* = Z3 + aZj + mZg,
U) f, g,'h - однородные функции по переменным rj* степени однородности -
нуль;
Xj = Zj, Х2 = Zg + pXj2 + TllZg.
П >=hI+FQ,
. \
* ' /
h) f, g, h - однородные функции по переменным rj* степени однородности -
1/a (a=/= 0);
Xj = X12, X2 = Zg + aZj + mZ2.
П *=<"lhI + FQ},
U) /, g, k - однородные функции по переменным т]1 степени ¦однородности
а; _ '
X* = Zj - aZ3 - maZ2, X* = Х12 - 2Z3 - 2mZ2; если Пм- однородные функции
по rj* степени "однородности 1,
* 123
а зависимость от Чр произвольная, то Xi = Zx - Zg -г mZ2;
Н = Н0, "
ix) -ST* = Z2, X* = Z3 + "Zx + pX12;
*2) Xg ~ Zgt _X* " Zs + "ZxJ У Zx* = Z2, X* = Zx, X3* = Zg + pX12;
У =-Zg, Xg = ^121 Xg = Z3 + ttZx; I
У Xg* = Z2, X* = Zx - aZ3, Xg* = 2Zg - X12; ;
У Xx = Zg, Xg <s= Zx ZgJ
G = G0pm, H^Ho, ' -
.у-Х* = S, X* - 2m (Z3 + aZx + pX12) + (m-1) Z2;
У -Xi = ^> X2 = 2m (Zs + aZj) + (m ¦- 1) Z2;,
У X2 - S, X2 = 2m (Z3 + PX42) + (m - 1) Z2, X3 = Zg; .
У Xj = S, Xg = 2m (Z3 + 0cZj) + (m.- 1) Z2, X3 - X12;
У.X* - S, Xj =t= 2m(Zg - aZgj-ra(m-l)Z2, Xg =
==> m (XJ2 - 2Zg) - (m - 1) Z2;
У X* = X, Xg =¦ 2m (Zx - Zs) - (m - 1) Z2;
<? = 0, Я-Я.,- , .*
• У x; = 5, X* - Za, Xg* = Zg + aZx + PX12;
*2) Xx = S, Xg = Zg, Xg = Zg + O-Zyx
ig) X* = S, X* = Z2" Xl *= Zg_+ pXxa, x4* = Zx; у 'Xx* = ?, X* = Zg,
x* = Z3 + aZx, X4* = Xg,;
у X* = Sf Xg = Zg, X* = Zg - aZg, X4* = Xgg -2Z3;
У Xx* = 5, Xg* = Zg, X* - Zg- ZgJ G = 0, #i=#(p), * ,
У Xg =5, Xg = Zg + aZg + pXgg + -g- Zg>
У Xj = X, Xg = Zg + "Zg + ~^Zg,
ig) Xt=S, X* = Zg+-flXxg + ±Zg, Xg' = Zg?
У Xg = 5, Xg = Zg + "Zg + "^"Zg, Xg = Xgg?
124
i -*~'л "l -¦ "з 2 ^2'
II. Пусть йо^О, тогда
Ш= e^^thl+FQ], ^ НгП -Oj (3.13)
GW*±lp, Я = Я0, • • •
/, g, /г - функции переменных тр, т]? ((1=1/&), а правая часть (3.13) -
однородные функции но переменным р) степени однородности два;
' X* = Zj-2Z3, X* = X12 + kZ3, Xt = Z2, Xt = Z0; ..
П=Й7+Я?>,' 1гП'=0, ' (3.14)
i2) /, g, Л -функции переменных i),, qs, а правая часть
(3.14) - однородные функции но переменным р\ степени одно-
родности два; -
Х\ = Х12, X* - Zj - 2ZS, Xj = Z2, ХГ = Z0; Ср^дЯ-яо-Г^р-1),-
. к) X* =Zj-2Z3-(1/2)Z2, x* = Xj2+^Z3+(1/4)/cZ2, X* = Z0-,
*4) X* --X12, X* - Zj - 2Z3 - (1/2)Z2, X?=Z0. '
Запишем определяющие уравнения в виде, удобном для дальнейшего
исследования:
/ дв - № г\-,тдв 56 _Л
• ' ""V + 2)(p|-c)+.Wp|]-0,
.V й"[(я+2)р-яс]>=о,
свЯ1г.П"=0,
- в0[ (Я+'2)рНР + ЯрЯр] = О,
^ + 2ТГМ idnkt
ав § - Лр* *¦ '
. i
".2^-0, <3-22*.
1=1- ч
еП" + а2?*П" + а12<?(П" + 2П") 4- а(,а2П" Ч- 2П13) + atsLtП" - 0,
(3.23)
(3.15)
(3.16)
(3.17)
(3.18)
(3.19)
(3.20)
(3.21)
eUli + aJL JF2 + а12(^П12 + П22 - П") + al2{L2П,г + П22) +
+ a2J(ZJti,2 + ir,)'=0, (3.24)
еПи + aaLJT3 + als(L,n,s + П25) + a13(L,n,s + П33 - П") +
+ ог1а"П,3-П,1)'=0, -(3.25)
- <?П22 + a2L4n21 + aI2(Ltn22-2П*2) + auL2n22 + a"(LsП22:+ 2П23) -0,
(3.26>
еП23 + a2L4n23 + a12(LJIM - Пи) + а,г(?2П25 - П12) +•
+ a2,(L,n25 + П33 - П22) = 0, ^ (3.27л
еПм + a2LJI33 + a(2L1nw + a"L2( Пм - 21Г3) + a2S(LJI3S - 2П22) = 0,
(3.28)
вдесь L" L2, Lt, Lk - линейные дифференциальные операторы
следующего вида: '
Поставленная задача была бы все еще трудна для полного исследования, если
бы не два обстоятельства, играющие решающую роль в классификации
трехмерных нестационарных моделей, опи-а сывающих движения чисто
механического континуума.
Во-первых, й качестве следствий из (3.23)-(3.28) получаем уравнения
еУ+a2LtV + al2i(F+ al3L2V+a^F = 0 (3.29Ь
и
2е% + a2Lkx + + alsL2% + aaL^= 0, (3.30)
