Групповые свойства уравнений упругости и пластичности. Том 2 - Аннин Б.Д.
Скачать (прямая ссылка):
2а. Решение на подгруппе Xt + jX3 следует искать в виде
ао*=уж + /г'(р), т = Я(р), о"=*=уж+ G(y).
Решение такого вида найдено в работе [19] Для более общего закона
текучести. Это решение обобщает решение Прандтля на анизотропный случай и
может быть использовано для описания-, пластического течения материала,
сжимаемого жесткими шероховатыми плитами. . ¦ I
96
;б. Решение на подгруппе Х4 + следует искать в виде
ао, = К In г + а(0), _ ое = 7 In г + 6(0), т = с(0).- (1.35)
Решение вида (1.35) можно использовать для описания пластического течения
анизотропного материала в сходящемся плоском канале.
2в. Решение системы (1.34), записанной в системе коордииат гб: г2 = (аж)2
+ у2, y = axtg 0, на подгруппе <^Zt + Хв + ЬХаУ следует искать в виде .
Это решение можно использовать для описания пластического течения
анизотропного материала между двумя логарифмическими спиралями.
§ 2. НЕОДНОРОДНАЯ ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ
1°. Этот пункт мы посвятим построению пространствен-, ных решений теории
пластичности неоднородных тел, когда функция неоднородности имеет вид К =
К(г).
Запишем систему уравнений в виде
Будем искать группу непрерывных преобразований, допускаемую системой
(3.1), полагая Kir) произвольной функцией. Эта группа порождается
следующими операторами [731:
о, = -аб + /(?) ехр (-0/?), ое = -аб + <p(|) exp (-0/|)) т = Tf(g) exp (-
0/|i), ? = гехр(,у0).
(2.1)
Б. Д. Ашшк, В. О. Бытев. С. И. Сенатов
97
Построим некоторые инвариантные решения системы уравне ний (2.1). . 1
1. Будем искать решение, инвариантное относительно, поя группы <kXt -
Хг'), в виде
u = u(g, г), у = у(?, г), и; = и?(|, г), | -z+fc0.
В переменных г, | бистема (5.1) запишется следующим образом!
дог,. к <Че , дагг , °г " °о Л _ + --^_ + -5Г + -- =0,-
ffcr0. . к да0 5o0z 2о6г п
~5Г -+ Г1Г + Ж + 'Г" '
<2.2*
д°г2 , Л ag0z , ^аг arz _ А . ..
~дГ + 7Ж+аъ + -
(ог - Ое)2 + (аг - Ог)2 + (ог - ае)2 + 6 (а% + а2г + а^) = 6Я2 (г),
Я 0 = 2оГ - Не - ог,. + |^) =200- Or - oz,
2crz - ое - о" xfjjL+Щ =~2ат "(дик dv v\ 0 ' . (к ди> dv\ й
,l(l7+ дР~т)=2°гв' X(T1f +lij==2a"*
2г Решение будем искать в виде
и ==u(r) sing, у -jy(r)-cos^,.u;==H;(r.)cos|,
-ЗР = о, + Ое + Oz = -3Р(г).
Пусть o," = Orz = 0, тогда оставшиеся компоненты цензора на*ч пряжений
суть функции неременной г. Второе и третье урав-5 нения системы (2.2)
удовлетворены тождественно) а первое слу-; жит для определения Р (г).
'
Длй определения и, v, w получаем систему обыкновенных дифференциальных
уравнений
kuibv'r-v = 0, ы/ 4- й~= 0, ги + и - kv - w = 0. (2.3)
Эта система совпадает с системой (4.4) гл. 3.
Таким образом, поле скоростей в нашем случае совпадает с полем скоростей
в однородном случае. Поле напряжений определится аналогично формулам
*(4.6) гл. 3:
Л,-. *<?_ Sez - 4>Se, Sz = fSe.
К1 + / + /2+ч>2 • ¦
(2.4)
(/ + 2) 5е
Sr = - (/ + 1)Se, P^Sr-j -- v- -u dr, .
0
где Se, ST, Sz - компоненты девиатора тензора напряжений. Поле напряжений
(3.4) совпадает с нолем напряжений гл. 3 при K(r)const. •
98- . *
Наше решение при Л -0 обобщает решение Р. Хилла 190] на неоднородный
случай.- Это решение описывает пластическое течение кругового цилиндра,
изготовленного из неоднородного пластического материала, сжатого
усилиями, распределенными на торцах и подвернутого действию крутящего
момента М = в
= 2л j тегГ2йг.
о .
3. Пусть
ОтВ " Orz =г 0.
При этом предположении будем искать решение системы (2.2) в виде
M = M*(r)sh|, v = y*(r) ch I, w = w*(r) ch?, P = P(r)% | = z + &0,
(2.5)
где и*, v*, w* - функции только г, к.- произвольная постоян- . ная. Тогда
из условия несжимаемости и уравнений (2.5) получаем систему обыкновенных
дифференциальных уравнений для определения функций u*t v*, w*:
* . du>* п d t v*\ , к ± ^
(ru*) + kv* + rw* = 0,
при зтом давление P восстанавливается из уравнения
d°r , °r ~ °e n ---------------= u.
dr r
Система уравнений (2.6) сводится к уравнению Бесселя 1*11* " + ги*' - (г*
+ к2 + 1)м* == 0, решение которого имеет вид
(2.6)
и* = С1Ш + с2КЛг), v = V*2 + l, (2.7)
где Jv - функция Бесселя мнимого аргумента, К, - функция Макдональда, с,,
е2 - произвольные постоянные. Ёсли положить с2 = О, то поле скоростей
имеет вид
(2.8)
и = Cj/V (г) sh|, v = - J Jv (г) -pj- j ch g,
• к?ж Cj chg J* (r)dr.
При этом компоненты тензора напряжений равны
= с + J dr, оНг = i|)F,
ов = <v+(<p-1)F, аг = о, - (24~"p)F, (2.9)
f = moi+ф4+(1+ф)а+ с 1-/2)ф2)-,/2,
и* 4- kv* . кш* -f- rv* "
Ф= р , ф = ----------------
ги ги к
Решение (2.8)-(2.9) можно использовать для описания пласт? ческого
течения цилиндра (0<г<R, -l^z^l), нагруженного по торцам напряжением,
распределенным по закону
-(2 + 9)F + J^2_lIdr>
и крутящим моментом
R
М = 2я J a0zr2dr.
Предполагая боковую поверхность свободной от напряжений определим
постоянную с из условия ат(Ю = 0.
Если в формуле (2.7) положит? с2 =?= 0, то построенкое решение можно
использовать для описания пластического теченш трубы, находящейся под
действием растягивающих усилий, кру тящего момента и внутреннего
