Групповые свойства уравнений упругости и пластичности. Том 2 - Аннин Б.Д.
Скачать (прямая ссылка):
-5Г+.-ЗГ+ 7 °'-1Г + -аГ + -= 0-' <7Л>
Третье уравнение, связывающее компоненты тензора напряжений,' является
условием текучести
(а, - <те)2 + ("Ее - dz)2 + (о* - о,)2 + бег?* = 6к*,. (7.2>
Нетрудно видеть, что система (7.1)-(7.2) содержит четыре искомые величины
и поэтому, в отличие от плоской задачи, рассмотренной ниже, не является-
локально статически определенной, и раздельный анализ напряжений и
скоростей в данном случае
включается. Таким образом, осесимметричные задачи образуют ;ак бы
промежуточное звено между пространственными и плоскими задачами-они
содержат лишь две компоненты вектора скорости й, w и обладают
принципиальными сложностями пространственных задач: 1) задача не является
статически определимой; 2) система (7.1)-(7.2) не является
гиперболической. Поэтому анализ общей осесимметричной задачи
наталкивается на большие математические трудности и все точные решения
получены обратными методами. .
Присоединим к уравнениям (7.1)-(7.2) условна несзкимаемо-сти и
уравнения., связывающие компоненты тензора скоростей деформации с
компонентами тензора напряжений:
ди , и dw "
И7 + 7 + ~дГ ~~ и'
? = Я (2ог - Об - о*), = Я (2ов - or - oz), (7.3)
-? = K(2oz-or-oe),? + ? - 2Хд",
-3Р = Ог + Ое + СЦ
где Я - положительная функция, определяемая из условия (7.2).
Группа, допускаемая системой (7.1)-(7.3), порождается* следующими
операторами [51:
у д у д ; & -у \ д
1~И7' хг - r'W + z'dz'¦
У а а у 'а • •
Xt = u-^ + w-, Х6 = ^р.
Построим оптимальную систему однопараметрических подгрупп. Она, имеет вид
" *
. Х,+аХ3~+рХ5, Xj + "X4 + pXB, Хв + рХв, g
Х2 + "X, + рХв, Х2 + стХ4 + рХв, Х4 + рХ5, X,.
В силу критерия из [53] инвариантные решения можно построить только, на
подгруппах
X, + aXs •? рХв, Х, + сбХ4 + рХ" Х2 + аХ> + рХв, Ха+-аХ4+рХв.
2°. Рассмотрим решение на подгруппе Xt + Х4 + аХ8. Решение -ищем в виде
[2, 51
ar - az + о* {г), а0 = az + ае (г), а2 =• az + а* (г), а" = a*z (г),
и ~ и* (г) expz, w - w* (r) expz.- (7.6)
Здесь а - произвольная постоянная, величины со звездочкой зависят только
от г. Из (7.1) следует.
Оп - -¦ V2ar + сг"1,' (7.7)
где с - произвольная постоянная. Подставляя (7.6)-(7.7) в С7.1)-
(7.3), получим для и*; и>* систему обыкновенных дифференциаль-
51
пых уравнений. Если предположить, что Чг = с = О, тоща из уравнений
несжимаемости и условия (7.7) получим (предполагая, что w ограничено при
г = 0)
и = Aj'0 (г) exp z, w - - AJ0 (г) exp z. (7.8)
Если w неограничено при г='0, то в (7.8) следует'добавить функцию
Макдональда. В выражении (7.8) А - произвольная постоянная, /0 - функция
Бесселя нулевого порядка от мдимого аргумента, удовлетворяющая уравнению
?/0 + /о - tJ0 = 0 ".
и условиям /0(0) = 1, /о (0) - 0.
Обозначим -rJ0IJ0 = /. Здесь /(г) принимает значения от -2 до -Находим *
я
-Г = - f [/ (г) + 2] r-'F (г) dr, F (г) = (1 + / + f)_1/2T
(7.9)
Г
^ - -?¦ + I/ (г) + 2] F (г), + [2/ + 1] F (г),
где 7? - произвольна^ постоянная. Это решение при R > 0, 4 > 0 описывает
пластическое течение кругового цилиндра длины L (-L<z<0, 0"?r<i?),
который нагружен по плоским торцам напряжением, распределенным по закону
(7.9), и свободен от напряжений на? боковой поверхности.
3°. Рассмотрим решение на подгруппе X, + аХг + pXs. Оно совпадает с
решением, найденным в [29], и ищется в виде
cfr = - Pz+ifjOO, Об ==-Pz+ij32(r), Oz - - pz + ifsfr), в,* = §r/2 + mjr,
w = qp(r), -az + /(r).
Подставляя эти выражения в (7.1)-(7.3), получим решение в виде
Зп г2 ¦ 1
а* * ~Щ~ ~ + Т К - ае),
2\т
oe = ar-
Pna 1 f г2~(т1г2 + тг)г •
-V ¦ I*-"
(-./гЕК 0 V "! +
•<гг- V -+
__________________ dr
+ 3n*r4
о" = m,r + mjr, в = ге1г+ге*/г, .
- С a-udr
. w = - 2nxz + 6 \ - -п -------------------г-,
J г(2нв --ar)
где пи пг, тпи тпг - постоянные, а = 2л" р = 2л*,. Полученное решение
соответствует сдавливанию пластического цилиндрического
52
слоя шероховатыми коаксиальными цилиндрическими поверхностями. Если т2 =
п*= 0, то получим - решение, исследованное в монографии [90], которое
описывает осевое течение трубы под действием осевого растяжения и
внутреннего давления [82].
4°. Рассмотрим осесимметричное решение, инвариантное относительно
подгруппы Хг. Решение будем искать в виде
n - ui\), w = w(%), Р = Р(|), | = z/r.
В этом случае система (7.1)-(7.3) сведется к следующей системе
обыкновенных дифференциальных уравнений:
- \S'r + S,rz + Sr-Se + IP' = 0, (7.10)
- %S'rz + S'Z + STZ - P' = 0, (7.11)
5, + Se + & = 0, (7.12)
SI + Si + Si + 2S*Z = 2kl (7.13)
ST e 7,\u , S(c)7.u, Sx " Tviv , 14)
2STZ - k(u' -|ip'),
где Se, Sr, Sz, STt - компоненты девиатора тензора напряжений, штрих
означает производную по.|. >
Умножим уравнение (7.11) на | и сложим с уравнением (7.10), имеем
- ISr + (1 _ Е2) S'x + is'z + (Sr - Se) + ISn = 0. (7.15)
Воспользуемся уравнением (7.12) и, исключая из (7.15) и (7.13) S2,
получим ¦
- 2lS'r.+ S" (1 -1*) - |5е +Sr-Se + tSn = 0, (7.16)
5? + Si + S2rz + SrSe = kl ' (7.17)
Из соотношений (7-14) следует, что
