Групповые свойства уравнений упругости и пластичности. Том 2 - Аннин Б.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Se = - г •" • ¦:==, 8вг = ф5е,
V 1 + / + / + ф
& = /Se, 5г = -(/+1)5е, (4.10
P0==Sr-j^?±?Sedr.
Решение (410)-(4.11) при Л > 0 описывает пластическое течение круглой
трубы, которая находится под действием внутреннего давления Р, осевой
силы N и крутящего момента М.
Если положить к = 0, то М = 0 и из (4.10) поЛучаем осесимметричное
решение, найденное Б. Д. Анниным [51, которое описывает пластическое
течение, кругового цилиндра со свободной от напряжений боковой
поверхностью.
' 3*. Инвариантное решение на подгруппе <А, + аА2 + (L46> ищем в виде
и = /(г), w - а? == ф(г), v - ч%г = ф(г), Р - Р(г), у = 0/а.
у
Подставим эти выражения в систему уравнений (4.3). Из уравнения
несжимаемости
df/dr + f/r + a + 4k = 0
имеем
/ - V + c2r_1, сх - V2 (a + V*). е" са - постоянные.
41!
Пусть <р = ф = 0, тогда 5гв ¦= STX = 0 и остальные компоненть тензора
напряжений имеют вид
5г = Х(с1 -Cjj/r*), Se^Uki + Ci + Ct/i*), (4.12)
•Sz = сЛ, 2?в1 = Klak/r + у r],
2A-*r4Af = [for2 - cB)2 + {(Ay +fo) rs + CssP+Vjs (a Ar+yr2)2 + a2r4],
Г
Р = 5г-)-|л,[- Ay - 2cB/r2] dr.
T\
Это решение описывает предельное состояние трубы под действи-.ем
внутреннего давления Р0, осевой crajj N0 и крутящего^ момента Ме.
Граничные условия на поверхности трубы запишутся - в виде
г* '
Гр =!¦ J"Oj-dr, OrJr=rj =-=--' Г, Cr l^-fj = О,
*•1
rs г*
N = 2я | rozdr, M - 2я J r2Sezdr*
ri ri
Это решение обобщает решение Панареллй и Ходжа [59] и переходит в него
при А = 0. Из решения (4.12), в частностй, вид-1 но, что увеличение А
ведет к увеличению величины крутящего момента.
$ 5-РЕШЕНИЕ ХИЛЛА
1°. Решение Хилла еЬть инвариантное решение, построенное на подгруппе
<2с05 + X, + аУ4 + pJi). После-преобразований группы (1.5) его можно
привести к виду, в котором оно и было получено* Хиллом:
и = bx2xs -,ухЦ2 + у(яв - ж?)/2 - ^хгх2/2 - ах112, v = - 6ххх3 - Р"|/2 +
y(5i - жв)/2 - yxtxJ2 - <ххг!2,
w - $х2ха + yxtx" + ахг + -ф(аг,, х2),
Р = 2ctXt + Р(хи х2).
Здесь а, р, у, б - произвольные постоянные, функция ^(хи хгУ определяется
из нелинейного уравнения второго порядка.
Это первое пррстранственное решение уравнений идеальной пластичности, оно
построено Хиллом в 1948 г. [103]. Решение описывает - пластическое
течение призматического стержня из жестко-пластического материала с
произвольной формой поперечного сечения,' деформируемого силой,
приложенной на краях.
42
внешние нагрузки, приложенные на краях стержКя статистически эквивалентны
продольной^ силе ~
Fа - db Y3ft* J J ]/"1 - Оц - dxidx%i
крутящему моменту
Ga =|| Vu)^(r)i^2i
изгибающему моменту с компонентами
Gt = ± У.Ъкв J Jха У1 - а?* - a\adxtdx^
G2 = =F/3ftJ - с?* - ofsd^idij,
2°. Еще одно решение, инвариантное относительно этой же подгруппы <c,S +
Xt + 2аУ, + рГ,), при р = 0 построено Д. Д. Ивлевым [303. Оно имеет вид
' Uj --* ПЖ,, Л,
и3'= - (а + Ь) ж3 - 2и (а2 + Ь2 + ab) (1 - х\), х = ± 1,
0,1 - ftж2 - Ci, Оц - кх 1, 0,2 " 02* " 0, (5.1)
а2г = - кх3 - сг + /к2{а^Ь)-- = К1 - *!,
Ув2 + г>* + вЬ
<*88 = - ft*3 - ct + V1 - ж1-
V а? + Ь2 + аЬ
Решение (5.1) обобщает плоское решение Прандтля (см. §. 8, п. 2) на
пространственный, случай. Это решение описывает пластическое течение
бруса в форме параллелепипеда, сжатого четырьмя плитами, сближающимися с
заданными скоростями.
3°. Пусть р = 7 = 6 = 0, -а = 2а, тогда решение Хилла переходит в
следующее решение:
• щ = аж,, иг - ахг, щ = -2аж* + Ц>(ж1? ж*), (5.2)
Р = 2с0ж* + Р(ж,, ж2).
При этом компоненты' тензора скоростей деформации имеют вид
¦ бц " fl, (r)2i " е** - -2а,
е,а = 0, 2e,s = дф/дж,, 2е2* =5 д$/дх2,
компоненты тензора напряжений равны
Оцss= 2х*с0 4" с,, о22 " 2ж3с0 4~ с,,
о,2 - 0, ом = -ЗаЯ, + 2ж3св + с",
2o,s = Кд$/дхи ¦ 2о2* = Я.Эф/Эж2, . (5.3)'
43
Если положить -ф = У42аф, то для определения функции ф(:к" х2, получим
уравнение
' ! I. ' \ -Ч . "л V f ¦)
М'ч'"+*+"&/ •
('-1.2).
Из уравнения (5.4) следует, что поверхность и - q>(xly х2) имеет
постоянную среднюю кривизну, равную с. Если с = 0, то уравнение (5.4)
называется уравнением минимальных поверхностей. Минимальная поверхность -
это такая поверхность, которая из всех поверхностей, натянутых на
'заданный контур, имеет наименьшую площадь. Физически минимальная
поверхность реализуется мольной пленкой, натянутой на заданный контур.
4°. Изучим групповые свойства уравнения (5.4) и построим его точные
решения. Уравнение (5.4) при с = 0 допускает группу ¦ непрерывных
преобразований, которая порождается операторами
X, -dldxi, Х2 = д/дх2, Ха - д/дц),
Xt - x2d/dXi - x,dfdx2, Х5 = Xid/dxi + х2д/дх2 + (рд/дц> .-
Если с?= 0, то уравнение (5.4) допускает операторы Хи Х2, Xs, Xv. ч
Оптимальная система однопараметрических подалгебр для алгебры Lt имеет
вид
Xt + аХ3, аХ, + Х4, X, + <хХ6, Х5,
где а - произвольная постоянная, различным значениям а соответствует
неподобные подалгебры.
Пользуясь оптимальной системой, выпишем инвариантные ре-, шения. '
5е. Инвариантное решение на подгруппе Х% -К аХ3 следует искать в виде
