Групповые свойства уравнений упругости и пластичности. Том 2 - Аннин Б.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Ищем решение, инвариантное относительно подгруппы Xt + + рХ? + уХц. Это
решение имеет вид
u = u*(6)e* о=у*(0)ей', и" = й>*(0)е**, P = yq> + P*(6), (5j.4)
где J, р - постоянные, и*, v*, w* - функции только 0. Додстав-ляя
сботношения (3.4) в (3.3), получаем
+ 2 ST - ISq - Sfg + SrQ ctg 0 = 0,
ев
^*-+(Se- Sv)ctg 0 + 3& = ~ (3.5)
8Sa"
+ 3Sr(p + 2S&p ctg0 = y*
ее T r<f При этом
Sr + S$ + Sip - 0, ST = tzXu*, Sq -
>' Б.' Д. Аннин, В. О. Бытев, С. И. Сенатов
33
Ч
S9 = фю* +. и* sin 6 + 17* COS 0); 2Sre - Ц(а-1) у* + j,
2<W= Х(^у"*'+(а-IX"*], Ф*ГГШ (pJ7*+sipeA? -U7*cos0j.
Система (3.5) есть система обыкновенных дифференциальных . уравнений. - 1
'
1°. Рассмотрим случай а - 1. Тогда в предположении в* = == ^ =* 0 имеем
¦
# StSrb ***5**"0 .
и система (3.5) сведется куравненийм
^+{sb-s9)ctge=^ ^r+ase^cigft-o. (3.6)
Первое уравнение системы (3.6) служит для оцределения функ-' ций Р*(0), а
из второго уравнения получаем *
5е* = Ci/sin* 0, Ci = const; - , (3J7)
С учетом (3.7), условий несжимаемости и текучести имеем
' j/"ftj sin46 - с*
sin2e *
Отсюда получаем условия на промежуток изменений угла 0, если О < 0 < яУ
°
arcsin 0<; я - arcsin
Компонента тензора напряжений о" определяется из уравнения
-щ- + (5е S9) ctg 0 = 0
и имеет вид
+ Пе =* А" *-
_ ,.{** BinA.^.f 1Х/* jp f(t in sin8 0 + (Aj sin4 0 - c*)1/a |, (3.8)
, ¦ где с* - произвольная постоянная.
Это решение можно использовать Для анализа несущей способности конической
трубы, границы которой совпадают с координатными поверхностями 01^ const,
02 = const, где ведано давление' Pi, Pt.соответственно" *
~ Если с* Ф 0, то для определения Компонент v*, w* получаем! следующую
систему обыкновенных дифференциальных уравнений: '. . _
У?
ЕСЛИ. ci_-=- 0, Torjja 5е, = 0 и из (3.8) получаем решение найденное в
[27]: ; ' ~
ов = 2&.ln |sin0l + С", 0, = Ое + 2Дг,.
В этом случае для определения поля скоростей деформации имеем уравнения
~ (
втби*' + i>*cos0 + ры>* = 0, sin Qw*' - w*cos 0 + ре* = 0,
• . (3.9)
где штрих означает производную по 6.
Заметим, что если р = О, то
v* = 7t/sin 0, w* - Yi sin 0.
При fi - 0 найденное поле скоростей совпадает с колем скоростей,
построенным в [27, с. 106].
Если р ч^О, то сделаем замену в системе (3.9) по формулам . у*(0) = Z(cos
0), w* "= Wcos 0), тогда система (3.9) примет вид
z'(i-i2)+zs+pft=o, ft'd - г) - ч+ pz=*= о, (зло).
где штрих означает производную по | - cos 0. ' ¦
Из второго уравнения системы (3.10) выразим Z и подставим в первое,
уравнение этой же системы. В результате получим
к" (|* - 1)* + 2|(|* - IW - А(1 + р*) = 0.
Решение этого уравнения [ЗЗР имеет вид
;' "-Ч]*?Г+л1ФР' •" ¦
где pi; Pi-'произвольнее постоянные. -
Окончательно получаем, что поле скоростей деформации при ct = 0, Р ?• 0
можно задавать следующими формулами:
Гй [ cos в -11°/* . о I cos 0 + 11°/*1 рф
' ",-rLp'tis?+il + М"гл±т|- Р-
и == 0;
"-Рн=* wcosO-щ- sin20.
2°. Еще одно решение для случая сферического деформированного состояния,
названного так по аналогии с плоским деформированным состоянием,
построено в работе [19], оно соответствует а = 1. Это решение имеет вид
и _ 0, i7.= гВ, и> = - гВ<р sin0 + г sin (c)[J<10 + <г4],
Sre = Sftp = 0, дд.шв- _ J Р (0) <;tg 0d0 >1ф + ?ц•
Оф - JtF (0) ctg 0d0 - F (0) - Жр + с4,
5ef - (ct - A cos 0}/siB* 0,
35
•ГД(r) - ...
. ------L. (В cos б-2с. соя 0} S_B
rm-2*V*-S*, М(6)-¦<...................^.ДдЛ.^
х = sign (о* - о,),
Л-, В, с4, с*, с", с* - произвольные постоянные.
Полученное решение описывает сжатие пластического слоя шероховатыми
коническими поверхностями <р "= const, течение которого ограничено
гладкими - сферическими поверхностями г = const.
3°. Рассмотрим случай, когда а = 0. Тогда система (3.5) запишется в виде
^
. ^0Г0, + SrG °tg 6 = 0,
-щ- + (5e - 5,).ctg 0 + 35,3*=---,
' "е. ' ' <311>
+ 3Srv + 250, ctg 0 = y, Sr = 0,
5e = Я^4^- + B*j, (P"7* + u* sin 0 4-n* cos0),
W = Ж (Pw* - u>* sin 0), 2iSVe - Я - i>*),
" i!5T (P17* + sin 6 ^ ^ cos e) •
25,
Из-первого уравнения системы (3.14) получаем. • .
5re = ct/sin0, ct = const. ^ .(3.12)1
•Пусть v* = 0, тогда из условия несжимаемости 5* + 5" = 0 следует | >
2и* sin 0 + рш* = 0. (3.13) |
Если Р^О, то из (3.13) имеем # .j
2sin6 5ге + 5еф = 0:
Р
Отсюда получаем .
5в, = -2с,/р. (3.14) ]
Из последнего уравнения системы <(3.11) имеем
¦йчр^ -д-Y +
Из формул (3.42)-(3.15) следует
5"= -|-Y+ 4jjp ctg 0. . (3.15)
(р+пг1)
fe = TVsi"0 + ^e v m* p (3.16)
00
36
'равнение (3.16) сводятся к квадратуре
1пи* .= 3 Т . (3.17)
J tP sm в + 4сх cos 0 v 9
Для простоты ограничимся случаем 7 = 0, тогда ив (3.17) по-лучаем
' 4 b<ca*) = ^-[(^+i)lnjtg^ + ^)|-siHe], (3.18)
где с - произвольная постоянная. Считая 3(^г-+)1)/4с" = с = 1,.ив (3,18)
имеем ' '
sin0\
¦'*.(Т + т)вч>{-р+1)-
Отсюда й из (3.13) следует
* 2sm6. in (r)\ • / sin(r) \
"•-Г-**(т+т)"F(-p+")- . .
Окончательно с учетом (3.4) получаем
в-*в(т+4)^р(-^+л>)"
v = 0,. v
2 sin 6. / я , 6 V / w =,__tg(T +-2jexp^
