Групповые свойства уравнений упругости и пластичности. Том 2 - Аннин Б.Д.
Скачать (прямая ссылка):
при этих значениях г достигает максимального значения, равного к.
Полученное решение можно испольговать
47
для описания напряженного состояния трубы, внутренний радиус которой г*,
а внешний равен г*.
13°. Пусть <р = In (cos Xj/cos хг), тогда поле скоростей деформации
запишется в виде
ч
Uj = j* (r)D.Ua = Ug = F + -уГ-Жд + ^ (^ii (r)j)i (5-17)
фя- mflncos^-lncos-^], a^ -~,
где с, fe, F- постоянные. При этом ковшонёнты тензора напряжений имеют
вид
пх пх
"13 - fetg 2д (r) (r)23 ^ Tcj tg д (О (Ж], Jj),
*>
Зс t
**38 = --1" С1" (r)11 ~ (r)22 = СИ **12 ~ 0, (5.18)
/ Я(r), JIX- 1/8
fi>(^,(r)2)=(l +tg2-2^ + tga^j -
'Из (5.18) следует, что при х, =±fe касательное напряжение о" достигает
предела текучести А:,, аналогично о*" достигает предела текучести при х2
- ±Л. Такое явление может, наблюдаться при развитых пластических
деформациях. Аналогичный эффект возникает в решении Прандтля о сжатии
пластического слоя.
Решение (5.17)-(5.18) можно использовать для описания пластического
течения материала, сжимаемого двумя парами параллельных жестких- и
шероховатых плит. При этом каждая плита надвигается на слой со скоростью
с. Из постоянства напряжений и о22 следует, что постоянен вектор
касательных напряжений т", который направлен вдоль оси Охь и
пропорционален нормальному (цр Кулону) давлению о"ц = -т". Предполагая
край х3 - О свободным от напряжений и учитывая несжимаемость материала,
можно установить связь постоянных с{ и V.
§ 6. РЕШЕНИЕ ПРАТЕРА
1°. В. Пратером [631 в 1954 г. построено точное пространственное решение,
которое описывает пластическое течение, соот-ветствующее однородному
напряженному^ пластическому состоянию.
Пусть однородное напряженное состояние задано соотношениями
Su "= к, 5**= Z, iSjj - т, 5ц = р, Su ~ *"" Sa = q. (6.1)
Тогда с точностью до поля скоростей, соответствующего движению твердого
тела, наиболее общее поле скоростей, совмести-
48
юе с уравнениями (.6.1), определяется формулами их = с (кхххs + рх2ха +
rxl), и2 = с(рх1х3 + 1х2хз + qxl), (6-.2) н3 - - Vac ()ке? + Zz* + 2рххх2
- mz*),
Zc*+ Z + тп - 0.
Здесь к, Z, тп, р, к, г, с - некоторые постоянные. .Из (6.1), (6.2)
следует, что поле скоростей (6.2) содержит только одну произвольную
постоянную с, в противоположность плоскому течению, когда возможно даже
появление произвольных функций [631. Как заметил В. Пратер, поля
напряжений и скоростей типа (6.11-(6.2) могут быть использованы в задачах
о пластических пластинках, подвергнутых действию постоянных изгибающих и
крутящих моментов.
. 2°. Можно показать, что решение (6.2) инвариантно, с точностью до
преобразований подобия группы (1.5), относительно подгруппы. Xi'±Tl + aTi
+ aS. Инвариантное решение, построенное на этой подгруппе, имеет вцд
ы, = ax,xt + и(х2, х,), и* = ^ххх3'+ v(x2, xs),'
(6.3)
Щ = i Х^Х2 + W {Х2, Жд), Р2 - UXx + Р (Хд, Жд).
Подставляя соотношения (6.3) в систему уравнений (1.1)-(1.4), получаем
^12 , П ^22., dSt* ар
дхг дх3 ' дх2 дх3 дх2 '
' + "ь+$¦+"$-0, (6.4)
Sxx = akxs, S22 = ^S33 =
25ia = жз). 25'13 = Ящ-,
Эта система допускает операторы
Y _ & гр д д -у_____у__________у _______ д "___ д
дх2'л~х*ди> Хз dv' х 1 ~ Ini' ~lto' х* - fa,,
Решение, инвариантное относительно . подгруппы X + рГ + yS, следует
искать в вцде
" = / (Хз). V = - Р^Жд + ф (Жд),
-Ё. -г2 ah /-г D _ ".о- I D \ ((r)-(r))
и;
^ Ж2 + 1J) (Жд), Р = ЧХ2+Р (Х3).
После подстановки выражений (6.5) в систему (6.4) она переходит в
следующую систему:
"*, ' Ъ д*э _*V
' и, ц. Аннин, В. О. Еытев, С. И. Сенатов * 49
Если а - т = 0, то получаем решение типа решения Пратера, в противном
случае имеем аналогично
Ои = ах, + ci, Ом = fXj + Са, On - axi + iXi-Vtfi,
Оц = Ojj + (2е" + е22)о), ом= е12<а, с22 = о" + (е" + 2ег1)ю, и = 2 j"
"I* oii(r)3i р =| * Р^г^з ^ *1*8. '
ю =4-(ж! ± 2хгх3 + fixl + fагд), (О2 ** "13 °*я
2X1 s * г 2 "г з/f 2 _L e е Г S2 -4- е2
егг * 11 зз * е12
Замечание. Решение, найденное М. А. Задояном [21Г, построено, на
подгруппе, которая подобна подгруппе Xt ± + аТ2 +
+ aS. Поэтому оно может быть получено ив (6.7) преобразованиями группы'
(1.5), Решение (6.7) можно использовать для описания пластического
течения между шероховатыми плитами, при анализе напряженно-
деформированного состояния (прямоугольной плиты, подвергнутой действию
изгибающих, крутящих и растяги-вающихусилий 1213.
§ 7. ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ РЕШЕНИЯ
*
Iе: Осесимметричные задачи идеальной пластичности представляют
значительный интерес для приложений. В этом случае напряженное, состояние
может быть описано компонентами тензора напряжений о" ов, о*, о".
Деформированное состояние опре-1 деляется компонентами тензора скоростей
деформации ет, ее, е", гдё r0z- цилиндрическая система роординат. При
этом предполагается, что4 вектор скорости деформации имеет две отличные
от- нуля компоненты мг, и", которые полагаются функциями г и я и
обозначаются и, wi . - '
Уравнения равновесия в данном случае имеют вид йрг дан аг-ов л.8а" даг а"
