Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
|soT = a (в>0), -I-SeS=* (*>0),
получим:
Ф (р, М) = {MS0 — RC + аМр — ЬМр*} р.
(9.98)
На плоскости М, р бифуркационная диаграмма распадается на прямую р=0 и кривую третьего порядка
TWS0 — RC + аМр — Шр1
:0.
На рис. 495 указано примерное расположение этих кривых, указаны области, где Ф (р, M) 0, и намечены устойчивые (светлые кружки) и неустойчивые (черные кружки) части линейных рядов.
Для УИ^>0 существуют два бифуркационных значения параметра:
Mn = -
RC
S0 +
ЛА RC и Mi = .
Ab
M0 соответствует слиянию двух линейных рядов *), TW1 — пересече пию двух линейных рядов.
Перейдем теперь к фазовой плоскости. Для 0<^УИ<7И, на нашей фазовой плоскости имеется, так же как и в предыдущем случае, только одно стационарное движение — устойчивый фокус в начале
') Соответствующая точка бифуркации на плоскости М, р отвечает так называемому «предельному» стационарному движению. 724 НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ, БЛИЗКИЕ К ГАРМОНИЧ. ОСЦИЛЛЯТОРУ [гл. IX
координат (рис. 492). При переходе M через бифуркационное значение параметра Al0 у нас сразу появляется пара предельных циклов, имеющих конечный радиус (рис. 496). Один из этих циклов — больший — устойчивый; меньший — неустойчивый; характер особой точки в начале координат при этом не меняется, она остается устойчивой.
При дальнейшем увеличении M устойчивый цикл растет, а неустойчивый уменьшается (рис. 497), и при M = M1 неустойчивый цикл исчезает, слившись с особой точкой, которая Рис. 495. при M = M1 становится уже
неустойчивой (рис. 498). Устойчивый цикл при увеличении M монотонно растет, и его радиус асимптотически стремится к значению, соответствующему
_ a + ya8 + 4»S„ Р"~ 2 Ь
Что же отметит прибор, измеряющий амплитуду колебаний генератора Ю Для того, чтобы это выяснить, проследим поведение изображающей точки, находившейся при малых M вблизи состояния равновесия. Очевидно, что изображающая точка будет находиться вблизи состояния равновесия до тех пор, пока это состояние равновесия не сделается неустойчивым, т. е. вплоть до M = M1, то, что при M = Ma появилась пара предельных циклов (из них один устойчивый), это «не касается» нашей изображающей точки, так как устойчивый характер состояния равновесия при этом не изменяется.
При M особая точка уже неустойчива; изображающая точка «срывается» при переходе M через M = M1, затем двигается так,
как ей «велят» интегральные кривые, и, значит, приходит к устойчивому предельному циклу и уже не покидает его при дальнейшем
Рис. 496. § 10] ИССЛЕДОВАНИЕ РЕЖИМОВ ЛАМПОВОГО ГЕНЕРАТОРА
725
увеличении М. При уменьшении параметра M получится иная картина. При уменьшении M изображающая точка останется на предельном цикле вплоть до M = M0, когда устойчивый цикл сольется с неустойчивым и исчезнет; изображающая точка не будет реагировать на то
Рис. 497.
Рис. 498.
обстоятельство, что при M = Mi состояние равновесия делается устойчивым, так как это не изменяет характера того предельного цикла, по которому она двигается. При переходе M через значение M = M0 изображающая точка, следуя интегральным кривым, перейдет к состоянию равновесия и останется там при дальнейшем уменьшении.
Прибор, измеряющий амплитуду колебаний тока в колебательном контуре (или напряжения на сетке), обнаружит скачки — резкое («жесткое») изменение амплитуды для M = M1 при увеличении M и для M = M0 при уменьшении М. Мы видим, что явление протекает иначе при увеличении, чем при уменьшении М; мы имеем дело с процессом, носящим необратимый «гистерезисный» характер (рис. 499).
Мы получили, таким образом, бифуркационные диаграммы для мягкого и жесткого возникновения колебаний, принимая за параметр, влиянием изменений которого на рассматриваемую систему мы интересуемся, коэффициент взаимоиндукции М. Аналогичные диаграммы мы могли бы получить и для других параметров, характеризующих нашу систему. 726 НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ, БЛИЗКИЕ К ГАРМОНИЧ. ОСЦИЛЛЯТОРУ [гл. IX
На рис. 500 и 501 приведены бифуркационные диаграммы R, р, где R — омическое сопротивление, опять для случая мягкого и же-
V(pM)=(SaM-K-aMp)p*0
Рис. 500.
4>lp,R)={MS0-RC*a,p-b,p2}p=o
Рис. 501.
сткого режима; соответствующие соотношения легко могут быть получены из выражений (9.97) и (9.98). ГЛАВА X
РАЗРЫВНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ') § 1. Введение
Как уже неоднократно указывалось, при рассмотрении всякой реальной физической системы мы неизбежно должны идеализировать эту систему, должны выбрать из всего многообразия свойств и качеств этой системы основные, определяющие, существенные для рассматриваемого круга вопросов и построить упрощенную динамическую (математическую) модель, уравнения движения которой отображают с той или иной степенью точности поведение реальной системы. Но, отбрасывая те или иные свойства системы, применяя ту или иную идеализацию, мы всегда рискуем тем, что можем отбросить как раз существенные для рассматриваемого вопроса обстоятельства и что сделанные упрощающие допущения как раз не дадут возможности правильно ответить на поставленные вопросы. Мы не можем построить никакой теории, пока не идеализируем свойств рассматриваемой системы, но, с другой стороны, мы не можем решить вопрос о «законности» допущенной идеализации, пока не получим каких-либо результатов из нашего теоретического рассмотрения и не сопоставим этих результатов с экспериментальными данными.
