Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Выясним теперь, устойчиво ли найденное нами периодическое движение. Чтобы движение было устойчивым, нужно, чтобы постоянный коэффициент Фурье функции, которая является множителем при X в правой части уравнения (9.80) и в которую подставлено синусоидальное решение, оказался меньше нуля, т. е. чтобы
З*//^3 2а'
а'--<^0 или Ki щ, ¦ Но, как мы нашли, квадрат амплитуды
нулевого приближения Ki = -. Следовательно, условие устойчивости
всегда выполняется (так как а'^>0, ч'^>0), и значит, найденное нами периодическое решение всегда устойчиво.
2. Значение малого параметра ji. Дифференциальное уравнение всякой динамической системы содержит ряд параметров, имеющих определенный физический смысл (например, L, R, С, S и т. д.).
l) В частности, для симметричной кубической характеристики, для которой ? = 0, поправка на период
8) Как видим, четный член характеристики не играет роли, лишь пока мы ограничиваемся нулевым приближением, но входит как в поправку на период, так и в первое приближение (9.82а) для периодического решения х (t).
2 3 Теория колебаний 706 НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ, БЛИЗКИЕ К ГАРМОНИЧ. ОСЦИЛЛЯТОРУ [гл. IX
Обычно бывает целесообразно вместо этих параметров ввести новые, так называемые «безразмерные» параметры (точно так же часто бывает целесообразно вводить безразмерные переменные), представляющие собой некоторые определенные комбинации «размерных» физических параметров. Желательно для упрощения математического исследования свести число этих безразмерных параметров к наименьшему числу независимых. Если один из этих параметров может быть выбран таким образом, чтобы при значении параметра, равном нулю, система превращалась в линейный гармонический осциллятор, то этот параметр может служить с математической точки зрения тем малым параметром [х, по которому производятся разложения в ряды в теории Пуанкаре и малостью которого приходится распоряжаться при обосновании метода Ван-дер-Поля.
Пуанкаре доказал, что ряды, представляющие периодическое решение, в его теории обладают отличным от нуля радиусом сходимости [х0, так что для всех [х^[х0 эти ряды сходятся абсолютно и равномерно. Это значит, что в таком случае для всех[х^[х0 существует периодическое решение, представляемое суммами соответствующих рядов ').
Однако о характере решения, например о близости решения к синусоидальному, эта сходимость еще ничего не говорит; на основании теории Пуанкаре мы можем лишь утверждать, что в этом случае всегда можно выбрать столь малое [х, чтобы решение было сколь угодно близко к синусоидальному.
Обычно при рассмотрении физических задач мы пользуемся нулевым приближением (at = К cos t, ф(/С) = 0); иногда кроме нулевого приближения нас интересует так называемая первая поправка на частоту (пропорциональная [х или р.*) и выражение второго члена (пропорционального [х) в разложении периодического решения. Поэтому нас в первую очередь интересуют такие вопросы: насколько амплитуда нулевого приближения отличается (при заданном [х) от амплитуды основного тона точного решения, насколько первая поправка на частоту отличается от истинной поправки на частоту, насколько истинная несинусоидальность (определенная, например, при помощи так называемого клирфактора) отличается от несинусоидальности, присущей первому приближению, и т. д. Если мы при этом зададимся, исходя из физической сущности задачи, допустимой погрешностью (например, выраженной в процентах), то это даст нам теоретическую возможность определить верхнюю границу для ;х, исходя из соображений о физической пригодности нулевого приближения, первого приближения и т. д. Так как, с другой стороны, ;х есть определенная комбинация физических параметров, то в реаль-
1) Заметим, что расходимость рядов по ц для ц > ц0 еще, вообще говоря, ничего не говорит о несуществовании периодического решения
для (x >(х0- § 7] ЛАМПОВЫЙ ГЕНЕРАТОР В СЛУЧАЕ ЛОМАНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК 707
ной системе |л имеет совершенно определенное значение, и мы не можем по произволу считать его сколь угодно малым, не теряя физического смысла задачи. Пусть, например, по самому физическому смыслу поставленной задачи jjl (x1. Тогда возникают следующие два вопроса: во-первых, будет ли р,, таким значением, при котором сходятся ряды Пуанкаре, и, во-вторых, будет ли [Jt1 таким значением, при котором нулевое или первое приближение дает требуемую точность. При отрицательном ответе на первый вопрос мы должны отказаться от использования метода Пуанкаре; при отрицательном ответе на второй вопрос, если на первый вопрос ответ положительный, возникает необходимость пользоваться дальнейшими приближениями. Однако ответы на эти вопросы при современном положении теории затруднительны и перед теорией стоит задача выработать для ответа на них достаточно эффективные методы ').
§ 7. Ламповый генератор в случае ломаных характеристик
При рассмотрении лампового генератора мы представляли характеристики лампы в виде полиномов. Наряду с полиномами бывает целесообразно представлять характеристики и в виде иных аналитических выражений. Рассмотрение таких более общих типов характеристик интересно уже потому, что можно проверить, какие полученные свойства автоколебательных систем специфичны для полиномов и какие специфичны для существа задачи.
